1から10までの整数をたして、その和を求めたことがあると思います。
1+2+・・・+9+10=55

では、1から100までの整数の和はいくらになるでしょうか。
正直に、順にたしていくのは大変です。
なにかよい工夫はないでしょうか?


逆に並べた整数の組を利用して解く方法

1+2+3+・・・+98+99+100、この整数の和を求めるのに、
100+99+98+・・・+3+2+1と、同じ整数を逆に並べたものを利用します。

1+2+3+・・・+98+99+100
100+99+98+・・・+3+2+1

上下に並んだ1と100、2と99、3と98、・・・の2数の和は101です。

そして、その101の組が(1+100)、(2+99)、(3+98)、・・・、(98+3)、(99+2)、(100+1)と100組あります。

同じものを2つ用意したものの和が101×100組ですから、1から100までの整数の和はその半分です。

以上より、
1+2+3+・・・+98+99+100
=((1+2+3+・・・+98+99+100)+(100+99+98+・・・+3+2+1))÷2
=(1+100)×100÷2
=5050


ちなみに、同じようにして1から1000までの整数の和を求めると、(1+1000)×1000÷2=500500となります。


公式化してみよう

どんな数でも和が求められるように、公式をつくってみましょう。

1+2+3+・・・+(n−2)+(n−1)+nと、逆に並べた
n+(n−1)+(n−2)+・・・+3+2+1を利用します。

上下に並んだ2つの整数の和は、
1+n
2+(n−1)=1+n
3+(n−2)=1+n・・・
と、すべて(n+1)です。

そして、(n+1)になる2数の組がn組あります。

2列の整数の和が(n+1)×n組で、これが、求めたい1+2+・・・+(n−1)+nの2倍です。

だから、1からnまでの整数の和は、(n+1)×n÷2で求められます。


同じ和になる2組の数を見つけて解く方法

1+2+3+・・・+98+99+100

1から100までの整数を並べてみると、左側は1+2+3+・・・と、1ずつ増加します。
右側の・・・+98+99+100を100からもどって眺めると、1ずつ減少しています。

ということは、最初の1と最後の100、2番目の2と最後から2番目の99、3番目の3と最後から3番目の98、・・・それぞれの組の和はすべて101です。

そして、100までには、たして101になる2数の組が100÷2=50組あります。

以上より、1+2+3+・・・+98+99+100=101×50=5050となることがわかります。
101








ちなみに、同じようにして1から1000までの整数の和を求めると、(1+1000)×(1000÷2)=500500となります。


公式化してみよう

どんな数でも和が求められるように、公式をつくってみましょう。

1からnまでの整数の和は、
1+2+3+・・・+(n−2)+(n−1)+n
=(1+n)×(n÷2)
=(1+n)×n÷2

整数の和


以上の求め方は、nが偶数のときを念頭においています。


(小学生にはやや難しいのですが、nが奇数のときは以下のようになります。)

nが奇数のとき、1+2+3+・・・+(n−2)+(n−1)+nで、
1+(n−1)、2+(n−2)、・・・と、最後のnを除いて組を作ったらわかりやすい。
1+(n−1)=n
2+(n−2)=n・・・の組が、(n−1)÷2組あり、その和にnを加えたものが、1からnまでの整数の和です。


整数の和2
















このように、nが奇数のときでも、同じ公式をつくることができます。



まとめ

1から10までの整数の和は、(1+10)×10÷2=11×5=55

1から100までの整数の和は、(1+100)×100÷2=101×50=5050

1からnまでの整数の和は、(1+n)×n÷2



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