多角形の内角の和は、多角形をｎ角形とすると、１８０×（ｎ−２）で求められますが、なぜ、そうなるのでしょうか。
（１）内部にできる三角形の数について、規則を見つけて、内角の和を求める方法
多角形の内角の和にどのような規則があるのか、三角形、四角形、五角形、六角形、・・・の順に調べていって、公式が成り立つことを確かめることができます。
三角形の内角の和は、１８０度です。
四角形の内角の和は、四角形の内部に２個の三角形がふくまれるので、１８０×２＝３６０度です。
五角形の内角の和は、五角形の内部に３個の三角形がふくまれるので、１８０×３＝５４０度です。
六角形の内角の和は、六角形の内部に４個の三角形がふくまれるので、１８０×４＝７２０度です。
三角形は三角形１個、四角形は三角形２個、五角形は三角形３個、六角形は三角形４個、・・・となっていることから、ｎ角形であれば内部に（ｎ−２）個の三角形がふくまれているということがわかります。
以上より、ｎ角形の内角の和は、内角の和が１８０度である三角形が（ｎ−２）個あることから、１８０度×（ｎ−２）です。
（２）１つの頂点からひける対角線の数から、内部にある三角形の個数を見つけて、内角の和を求める方法
ｎ角形であれば、１つの頂点から（ｎ−３）本の対角線を引くことができます（１つの頂点からひくことができる対角線の数が（ｎ−３）であることについては、こちらを参照）。
ところで、左の図を見たらわかるように、対角線は、三角形と三角形の境界線ですから、１つの頂点からひくことができる対角線の数は、常に三角形の数より１だけ少なくなります。
逆の言い方をすると、多角形の内部には、１つの頂点からひける対角線の数より１つだけ多い数の三角形ができます。
以上より、ｎ角形の１つの頂点からひくことができる対角線の数は（ｎ−３）本。
ｎ角形の内部にできる三角形の数は、１つの頂点からひける対角線の数より１多いから、（ｎ−３）＋１＝（ｎ−２）個。
よって、三角形の内角の和が１８０度で、多角形の内部にある三角形の数は（ｎ−２）個だから、ｎ角形の内角の和は１８０×（ｎ−２）度です。
（３）ｎ角形の内部にｎ個の三角形を作って、内角の和の公式を見つける方法
多角形の内部に１点をとり、多角形の各辺とその頂点を結んで三角形をかく方法でも、内角の和を求める公式を確かめることができます。
例えば、五角形であれば下の図のようになります。
五角形の辺の数は５本ですから、５個の三角形ができます。
五角形の内角の和は、左の図の青色の角の和です。
五角形の内部に三角形が５つあり、５つの三角形の角の和は１８０度×５個ですが、五角形の内角の和は、その１８０度×５個分から、内部の１点に集まっている三角形の角５個分（図の緑色の角）をひいたものです。
そして、内部の１点に集まっている５個の角の和は、常に３６０度です。
以上より、五角形の内角の和は、１８０度×５個−３６０度で求められることがわかります。
この理屈は、ｎ角形であっても同じです。
ｎ角形の内部にできる三角形の数は、辺の数がｎ本だからｎ個。
その三角形のすべての角の和は１８０度×ｎ個。
ところが、ｎ角形の内角の和は、１８０度×ｎ個から、内部の１点に集まったｎ個の角の和の３６０度
をひいたものです。
以上より、ｎ角形の内角の和は、１８０×ｎ−３６０。
この式を１８０度を使って書き直すと、
１８０×ｎ−３６０
＝１８０×ｎ−１８０×２
＝１８０×（ｎ−２）
ｎ角形の内角の和は１８０×（ｎ−２）で求められることを、この方法でも確かめることができます。
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（１）内部にできる三角形の数について、規則を見つけて、内角の和を求める方法
多角形の内角の和にどのような規則があるのか、三角形、四角形、五角形、六角形、・・・の順に調べていって、公式が成り立つことを確かめることができます。
三角形の内角の和は、１８０度です。四角形の内角の和は、四角形の内部に２個の三角形がふくまれるので、１８０×２＝３６０度です。
五角形の内角の和は、五角形の内部に３個の三角形がふくまれるので、１８０×３＝５４０度です。
六角形の内角の和は、六角形の内部に４個の三角形がふくまれるので、１８０×４＝７２０度です。
三角形は三角形１個、四角形は三角形２個、五角形は三角形３個、六角形は三角形４個、・・・となっていることから、ｎ角形であれば内部に（ｎ−２）個の三角形がふくまれているということがわかります。
以上より、ｎ角形の内角の和は、内角の和が１８０度である三角形が（ｎ−２）個あることから、１８０度×（ｎ−２）です。
（２）１つの頂点からひける対角線の数から、内部にある三角形の個数を見つけて、内角の和を求める方法
ｎ角形であれば、１つの頂点から（ｎ−３）本の対角線を引くことができます（１つの頂点からひくことができる対角線の数が（ｎ−３）であることについては、こちらを参照）。ところで、左の図を見たらわかるように、対角線は、三角形と三角形の境界線ですから、１つの頂点からひくことができる対角線の数は、常に三角形の数より１だけ少なくなります。
逆の言い方をすると、多角形の内部には、１つの頂点からひける対角線の数より１つだけ多い数の三角形ができます。
以上より、ｎ角形の１つの頂点からひくことができる対角線の数は（ｎ−３）本。
ｎ角形の内部にできる三角形の数は、１つの頂点からひける対角線の数より１多いから、（ｎ−３）＋１＝（ｎ−２）個。
よって、三角形の内角の和が１８０度で、多角形の内部にある三角形の数は（ｎ−２）個だから、ｎ角形の内角の和は１８０×（ｎ−２）度です。
（３）ｎ角形の内部にｎ個の三角形を作って、内角の和の公式を見つける方法
多角形の内部に１点をとり、多角形の各辺とその頂点を結んで三角形をかく方法でも、内角の和を求める公式を確かめることができます。
例えば、五角形であれば下の図のようになります。
五角形の辺の数は５本ですから、５個の三角形ができます。
五角形の内角の和は、左の図の青色の角の和です。
五角形の内部に三角形が５つあり、５つの三角形の角の和は１８０度×５個ですが、五角形の内角の和は、その１８０度×５個分から、内部の１点に集まっている三角形の角５個分（図の緑色の角）をひいたものです。
そして、内部の１点に集まっている５個の角の和は、常に３６０度です。
以上より、五角形の内角の和は、１８０度×５個−３６０度で求められることがわかります。
この理屈は、ｎ角形であっても同じです。
ｎ角形の内部にできる三角形の数は、辺の数がｎ本だからｎ個。その三角形のすべての角の和は１８０度×ｎ個。
ところが、ｎ角形の内角の和は、１８０度×ｎ個から、内部の１点に集まったｎ個の角の和の３６０度
をひいたものです。
以上より、ｎ角形の内角の和は、１８０×ｎ−３６０。
この式を１８０度を使って書き直すと、
１８０×ｎ−３６０
＝１８０×ｎ−１８０×２
＝１８０×（ｎ−２）
ｎ角形の内角の和は１８０×（ｎ−２）で求められることを、この方法でも確かめることができます。
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