この稿で取り上げるのは、凸レンズの焦点距離と、レンズと物体との距離と、レンズと実像との距離の間に成立する、「レンズの公式」「写像公式」といわれる公式です。

(「レンズの公式」自体は高校物理の範囲ですが、私立高校の入試問題ではしばしば出題されますし、知っておいて損はありません。)

凸レンズに関する用語や凸レンズの基本的な性質については、拙稿『凸レンズ』をご覧ください。


凸レンズの作図と相似

凸レンズでできる実像を作図で求めるとき、
作図







この図の中にはいくつかの相似な三角形の組が存在します。
作図2
物体をPQ、実像をP’Q’、焦点をF1、F2、レンズの中心をO、Qから出た光軸に平行な光がレンズの中心線と交わる点をA、Qから出て焦点F1を通った光がレンズの中心線と交わる点をB、焦点距離をf、レンズから物体までの距離をa、レンズから実像までの距離をbとします。


このとき、物体と実像が対応する辺となる、相似な三角形を2組見つけておきます。

三角形QPOと三角形Q’P’Oが相似です。
作図4








三角形AOF2と三角形Q’P’F2が相似です。
作図3









三角形QPOと三角形Q’P’Oが相似であることからできる等式
作図4
三角形QPOと三角形Q’P’Oが相似なので、対応する辺であるQP:Q’P’=PO:P’O

PO=a、P’O=bだから、QP:Q’P’=a:b・・・(1)






三角形AOF2と三角形Q’P’F2が相似であることからできる等式
作図3
三角形AOF2と三角形Q’P’F2が相似なので、対応する辺であるAO:Q’P’=OF2:P’F2

OF2=f、P’F2=b−fだから、
AO:Q’P’=f:b−f

ところが、AO=QPだから、
QP:Q’P’=f:b−f・・・(2)


2つの等式から導かれる、レンズの公式(写像公式)

(1)の式QP:Q’P’=a:bと、(2)の式QP:Q’P’=f:b−fの、
2つの等式の左辺が共通なので、
a:b=f:b−f

比の値を求めると(分数の形に書き換えると)、
a/b=f/b−f

両辺に、分母のb×(b−f)をかけて、
a(b−f)=bf
ab−af=bf

両辺をabfでわると、
1/f−1/b=1/a

1/bを右辺に移項して、
1/f=1/a+1/b

レンズの公式1


















または、

a:b=f:b−fより、

比の式で、外側の項の積と内側の項の積は等しいので、
a(b−f)=bf
ab−af=bf

両辺をabfでわると、
1/f−1/b=1/a

1/bを右辺に移項して、
1/f=1/a+1/b

レンズの公式2














このようにして求めた、焦点距離をf、レンズの中心と物体との距離をa、レンズの中心と実像との距離をbとしたときに成り立つ、1/f=1/a+1/bの式が、レンズの公式、写像公式といわれるものです。

レンズの公式3













虚像ができるとき

物体を焦点より内側に置くと、虚像ができます。

この場合も、実像のときと同じように、公式を導くことができます。

虚像1三角形Q’P’Oと三角形QPOが相似だから、
Q’P’:QP=P’O:PO

P’O=b、PO=aだから、
Q’P’:QP=b:a・・・(1)









虚像2三角形Q’P’F2と三角形AOF2が相似だから、
Q’P:AO=P’F2:OF2

P’F2=b+f、OF2=fだから、
Q’P:AO=b+f:f

ところが、AO=QPなので、
Q’P:QP=b+f:f・・・(2)






(1)の式Q’P’:QP=b:aと、(2)の式Q’P:QP=b+f:fの、
2つの等式の左辺が共通なので、
b:a=b+f:f

比の式で、内側の項の積と外側の項の積は等しいので、
a(b+f)=bf
ab+af=bf

両辺をabfでわると、
1/f+1/b=1/a

1/bを右辺に移項して、
1/f=1/a−1/b

虚像の式















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