入試レベルの関数・グラフの問題を解くときは、(1)を書き込む、(2)座標を書き込む、(3)方程式をたてる、の3段階で解くことができます。

大阪府・平成22年度・後期選抜・B選択問題

1、(6)
例題右図において、mはy=1/8x^2のグラフを表す。Aはm上の点であり、そのx座標をt(tは正の定数)とする。Bはy軸上の点であり、そのy座標は2である。Cはx座標がAのx座標と等しく、y座標が−2の点である。nは2点B、Cを通る直線であり、Dはnとx軸との交点である。Eはmとnとの交点であり、BとCについて反対側にある。
(1)Aのy座標とDのx座標をそれぞれtをもちいて表しなさい。
(2)Eのy座標が8であるときのtの値を求めなさい。求め方も書くこと。


(解き方)

まず、問題を解く手順3段階の最初の2つ、(1)を書き込む、(2)座標を書き込む、を丁寧にしておきます。
例題2の2

(1)まず、mに放物線の式であるy=1/8x^2を書き込みます。

問題文に書いてあっても、目の前のグラフに書き込むことが必要です。

(2)次に、座標を書き込みます。

必ず、完全な座標の形で書き込むこと。
Bにただ2とだけ書いてはいけません。(0,2)と書き込みます。

重要なのは点Aへの書き込みです。

問題文にAのx座標はtとあるので、まずx座標をtと記入します。

こつ次に、左の、座標を書き込むときのコツにしたがって、x=tを放物線の式にあてはめ、y=1/8t^2より、点Aに(t,1/8t^2)と書き込みます。

さらに、問題文にしたがって、点Cの座標を(t,−2)と書き込んでおきます。

これで、やっと準備完了です。

自分の書き込みを見ながら、どう解くかを考えていきます。


(1)Aのy座標とDのx座標をそれぞれtをもちいて表しなさい。

Aのx座標は、準備の段階ですでに1/8t^2とわかっています。

Dのx座標は、どうしたら求められるでしょうか。

例題2の3
(方法1)
1つの方法は、点Dが直線nとx軸との交点であることに着目して求める方法です。

x軸上の点のy座標はすべて0ですから、y=0を直線nの式に代入すれば、点Dの座標を求めることができます。

そのためには、まず直線nの式を求めないといけません。

直線の式は、y=ax+bであり、その求め方は2通り考えられます。
1つは、点Bと点Cを通っていることから、y=ax+bに、点Bの座標(0,2)と点Cの座標(t,−2)を代入して連立方程式をつくり、連立方程式を解いてaとbを求める方法です。
2=0+b
−2=at+b
この連立方程式を解くと、b=2、a=−4/tとなり、ゆえに直線の式はy=(−4/t)x+2だとわかります。

例題2の4















もう1つの方法は、切片であるbが点B(0,2)より2とわかっているので、グラフから傾きを見つける方法です。

例題2の3左の図のように、直線nは、右にtだけ進んで下に4下がっています。このことより、傾きは−4/t、つまりa=−4/tです。
傾きが−4/tで、切片が2だから、直線の式はy=(−4/t)x+bということになります。




いずれかの方法で直線の式を求めたら、x軸との交点を求めるためにy=0を代入します。
0=(−4/t)x+2
等式なので、両辺に分母のtをかけて、0=−4x+2t
4x=2t
x=t/2

よって、点Dの座標は(t/2,0)です。

例題2の5














(方法2)
相似を利用します(関数・グラフの問題でも、相似を利用することは多い)。

例題2の6左の図で、△BDPと△BCQは相似です。
そして、PDの長さは2、QCの長さは4、BQはt、BPの長さが点Dのx座標にあたります。

△BDP∽△BCQより、
BP:BQ=PD:QCだから、
BP:t=2:4
4×BP=2×t
よって、BP=t/2

だから、点Dの座標は(t/2,0)です。


(方法3)

例題2の9線分BOの長さが2、点Cからx軸にひいた垂線とx軸との交点までの長さも2であることに気がつくと、あっさりと求められます。

点Dは、点Bと点Cの中点です。

よって、点Dのx座標は点Cのx座標の半分、すなわち点D(t/2,0)です。





(2)Eのy座標が8であるときのtの値を求めなさい。求め方も書くこと。

やはり、いくつかの求め方が考えられます。

(方法1)

1つは、点Eの座標を求めて、その点Eを直線nが通っているので、点Eの座標を直線nの式、y=(−4/t)x+2に代入して、tの値を求める方法です。

点Eのy座標は8です。
点Eを放物線y=1/8x^2が通っているので、y=8を代入します。
8=1/8x^2
両辺に8をかけて64=x^2
x=±8
点EはBとCについて反対側にあるので、x=−8

点Eのx座標がわかったので、点E(−8,8)を直線nの式、y=(−4/t)x+2に代入します。
8=(−4/t)×(−8)+2
8=32/t+2
両辺にtをかけて、
8t=32+2t
6t=32
t=16/3


(方法2)

相似を利用します。

例題2の7点Eからx軸に垂線をひいて、x軸との交点をRとします。

△ERDと△BODは、∠ERD=∠BOD=90度、
∠EDR=∠BDOより、
2組の角がそれぞれ等しいので相似です。

そして、ER=8、BO=2、OD=t/2です。

よって、RD:OD=ER:BO
つまり、RD=t/2=8:2
RD×2=t/2×8
RD×2=4t
RD=2t

RD=2tなので、RO=2t−t/2=3t/2

点Eのx座標は、y=1/8x^2にy=8を代入してx=−8。
点Eのx座標が−8なら、ROの長さは8。

RO=3t/2だったから、
3t/2=8
両辺に2をかけて、
3t=16
t=16/3


(方法3)

教育委員会発表の模範解答の解き方です。

最初に、y=8を放物線mの式y=1/8x^2に代入して、点Eの座標を求めるところまではこれまでの解き方と共通です。
8=1/8x^2を解いて、x=−8。

例題2の8直線nは、点E(−8,8)、点B(0,2)を通るので、傾きが−6/8=−3/4で、切片が2。

よって、直線nの式は、
y=−3/4x+2。

この直線が点Cを通るので、点C(t,−2)を代入します。

−2=(−3/4)x+2
両辺に4をかけて、
−8=−3x+8
3x=16
x=16/3



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