速さの応用問題のうち、和差算の考え方をもちいて解く問題を検討します。


和差算の考え方とは

基本問題:
長さ2mのリボンを2つに切り、一方が他方より8cm長くなるようにするとき、大、小それぞれの長さは何cmですか。

和が200cm、差が8cmである2つの数を求める問題が和差算です。
和差算を解くときは線分図を書きます。
基本
左の線分図より、200cmから差の8cmをひくと、同じものが2つ残ることがわかります。

200−8=192
192÷2=96
短いほうは96cmです。
長いほうは96+8=104cmです。

このように、線分図を書いて、はみ出た部分をひいて、同じ部分2個分を求め、2でわって小さいほうを求めます。
これが和差算の基本的な考え方です。

和差算・・・線分図→ちがい(差)をひく→同じもの2つ分を求める→2でわって小さいほうを求める


この和差算の考え方をもちいて解く、速さの応用問題がよく出題されます。

和差算で解く、速さの応用問題

例題1:
まわりが4200mの池があります。この池のまわりをAとBがまわります。同時に同じところを出発して、反対方向に進むと15分後に出会い、同じ向きにまわると35分後にAはBを追い越します。A、B2人の速さはそれぞれ毎分何mですか。


あなたが友だちと池をまわる場面をイメージしてください。
反対方向に進むとき、あなたの歩いた距離と友だちの歩いた距離の合計が、ちょうど池の1周分になります。
同じ方向に進むとき、あなたのほうが速いとすると、ちょうど池1周分、あなたのほうが多く進んだところで友だちを追い越すはずです。

この問題は、A、B2人の分速をたずねる問題です。
反対方向に進んだとき、
Aの分速×15分+Bの分速×15分=(Aの分速+Bの分速)×15分=池1周分4200m
同じ方向に進んだとき、
Aの分速×35分−Bの分速×35分=(Aの分速−Bの分速)×35分=池1周分4200m
ということになります。

だから、
Aの分速+Bの分速=4200÷15=280
Aの分速−Bの分速=4200÷35=120
となり、和が280、差が120の2つの数を求める問題、つまり和差算だとわかります。

例題1280−120=160
160÷2=80

Bの分速は80m/分

80+120=200
Aの分速は200m/分


例題2:
A町とB町の間は6.3kmあります。太郎はA町を、花子はB町を同時に出発して、2つの町を往復します。2人は出発して50分後にまず出会いました。その後、2つの町に着いた後折り返して、A町から2.1kmのところでふたたび出会いました。それぞれ毎分何mの速さで歩きましたか。

状況を、まず簡単な図で描いてみましょう。

例題21回目に出会ったとき、50分に2人が進んだ距離の合計が6300mだとわかります。

少しややこしいのは2回目の出会いです。
図をじっくりながめると、太郎がB町に着いた後6300−2100=4200m進んでいること、花子はA町に着いた後2100m進んで、そこで太郎と出会っていることがわかります。2人の進んだ距離の違いは4200−2100=2100mです。
また、そのとき、2人の進んだ距離の合計は、A町とB町の距離のちょうど3倍であることもわかります。
50分で2人の合計が6300mだから、その3倍の距離を進むのにかかった時間は50分×3=150分のはずです。

以上をまとめると、
太郎の分速×50+花子の分速×50=6300m
太郎の分速×150−花子の分速×150=4200−2100=2100m

(太郎の分速+花子の分速)×50=6300
(太郎の分速−花子の分速)×150=2100

よって、
太郎の分速+花子の分速=6300÷50=126m
太郎の分速−花子の分速=2100÷150=14m
例題2の2
126−14=112
112÷2=56

花子の分速は56m/分

56+14=70
太郎の分速は70m/分



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