平均算の発展問題の解き方を考察します。

平均算の考え方とは

基本問題:
Aさんのこれまで4回の算数テストの平均点は68点です。平均点を70点以上にするには、次のテストで何点以上とればよいですか。


(解き方)

平均を求める式は、平均=合計÷個数です。
ところが、この式を使うだけで求められるような単純な問題は、小学校のテストでは出題されるでしょうが、入試ではまず出ません。

では、どんな問題が多いのか?

平均=合計÷個数ということは、合計=平均×回数です。
平均算の問題で多いのは、合計=平均×回数の式で先に合計を求めてから考える問題です。

この問題もそうです。

4回のテストの平均点が68点だったということは、4回のテストの合計点は68×4=272点です。
次のテストを受けて、5回のテストの合計点を70点にするわけですが、平均点が70点で5回であれば、その合計点は70×5=350点です。
ということは、5回目にとらないといけない点は、5回の合計点から前回までの4回の合計点をひいた、350−272=78点ということになります。


では、よく出題される平均算の問題をながめてみましょう。

例題1:
A、B、C、D、Eの平均は77、A、B、C、Dの平均は78、B、C、Eの平均は76で、BはCより5大きいとき、Cはいくらですか。


(解き方)

平均算の問題で多いのは、合計=平均×回数の式で先に合計を求めてから考える問題です。

まず、A・B・C・D・E、5つの合計を求めます。
77×5=385

次にA・B・C・D、4つの合計を求めます。
78×4=312

ここで、385−312=73、Eが73であることがわかります。

さらに、B・C・E、3つの合計を求めます。
76×3=228
Eが73だったので、BとCの合計は228−73=155
BとCの合計は155です。

ところが、「BはCより5大きい」とありますから、和差算の考え方を使って、
(155−5)÷2=75

BとCのうち、小さいCが75だとわかります。

このように、ほとんどの平均算は、先に合計を求めておいて、それからじっくり考えれば、なんとかなります。


次の問題は、ちょくちょく出題される有名な問題です。

例題3:
いままで何回か行われた算数テストで、Aさんの平均点は83点でした。今回95点をとったので平均点が85点になりました。テストは全部で何回おこなわれましたか。


(解き方)

これまでの平均点が83点であったということは、ずっと83点ばかりとったのと同じだと考えます。

平均算図を見たらわかるように、今回95点とったので、今までの平均点83点との差、95−83=12点を、テストごとに配っていけば、全部の平均点を85点にすることができます。

(95−83)÷(85−83)=12÷2=6回。

答えは、全部で6回です。

文章題で多い、(全部のちがい)÷(1回のちがい)で解ける問題であったことがわかります。


最後に、少し難しい問題に挑戦してみましょう。

例題4:
入学試験で1000人の受験者から150人が合格しました。合格者と不合格者の平均点の差は38点で、全受験者の平均点は50.7点でした。合格者の平均点は何点ですか。


(解き方)

やはり、図をかくと解き方の見当がつきます。

平均算2不合格者の平均点をこえていた部分を1000人全員に配っていくと、全員の平均点が50.7点になることがわかります。

不合格者の平均点をこえていた部分は、38×150=5700点。

これを1000人全員に配ると、5700÷1000=5.7点。

図より、全員の平均点である50.7から5.7をひいたものが、不合格者の平均点です。
50.7−5.7=45点。

合格者の平均点は、不合格者の平均点45点より38点高かったので、45+38=83点。

(別の解き方)

平均算を解くときの便利な技、合計=平均×人数を使って解くこともできます。

全員の合計点は、50.7×1000=50700点。

合格者の平均点は不合格者の平均点より38点高かったので、不合格者が全員38点とっていたら合計があと何点増えるかを考えると、38×850人=32300点。

50700点+32300点=83000点が、1000人全員が合格したとしたときの合計点になります。

だから、合格者の平均点は、83000÷1000=83点。


平均算のまとめ

1、平均を求める式は、平均=合計÷個数である。

2、先に、合計=平均×個数を求めると簡単になる問題が多い。

3、それぞれがみな平均であったと考えてをかいたら簡単になる。



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