倍数算には、和が一定のとき、差が一定のとき、和も差も変化するときの３種類があって、それぞれ解き方が違うと説明されることが多いのですが、私はすべてを１つの方法で解くほうがよいと思っています。
似た問題をまったく別の方法で解くのは、受験生にとって負担が大きいと思うからです。
算数・数学のコツとして、「２種類以上の数値が出てきたときは１つをそろえてやって残ったもので解けばよい」があります（小学生だと消去算、中学生だと連立方程式がその代表的なものです）。
公倍数を使えば簡単に１つのものをそろえることができるので、３種類ある倍数算をその方法１つだけで解くことができます。
例題１（和が一定のとき）
兄と妹の所持金の比は５：３でしたが、兄が妹に５００円あげたので、２人の比は５：４になりました。はじめ、兄は何円もっていましたか。
（解説と解答）
解き始める前に丁寧に線分図をかかないといけないのはすべての問題に共通です。
線分図を見て解く自分自身のために、ふだんから、できるだけ問題の数字に忠実な図をかくべきです。
最初の比は丸で囲む、後の比は四角で囲むなどの区別をしておくと、自分自身が後ですごく楽になります。
線分図がかけたら、次にどちらかの比を公倍数を使ってそろえてやります。
どちらをそろえてもかまいません。
今日は、丸で囲んだほうの比を、５と３の公倍数１５にそろえて解いてみましょう。
丸で囲んだ５と３を１５にそろえた図を右にかきます。
線分図をかくときに注意するのは同じものを表わす１５をきちんとそろえること。
そこさえ正確であれば、あとは適当にかいても大丈夫です。
兄のほうは、５が３倍の１５になるので、四角の５も金額の５００円も３倍の１５と１５００円になります。
同じように妹は、３が５倍の１５になるので、四角も金額も５倍して四角は２０、金額は２５００円になります。
最後に右にかき直したほうの線分図をながめると、兄の四角は１５、妹の四角は２０であり、そのちがいは１５００＋２５００＝４０００だと一目でわかります。
この４０００円を、四角の２０と１５のちがいの５でわると４０００÷（２０−１５）＝８００ですから、四角１つ分は８００円です。
これで解けました。
問いは、「はじめ、兄は何円もっていましたか」でした。線分図をながめると、はじめの兄は四角の５に５００円をたしたものです。
四角の１は８００円ですから、はじめの兄は８００×５＋５００＝４５００円です。
例題２（差が一定のとき）
兄と妹の所持金の比は８：５でしたが、３００円ずつ使ったので残金の比が５：３になりました。はじめ、兄は何円もっていましたか。
（解説と解答）
最初の線分図を丁寧にかきます。
どちらをそろえてもかまいませんが、丸で囲んだ比をそろえるとすると８と５の公倍数である４０にしたらよいということになります。
兄のほうは８を５倍の４０にしたので、四角の５も３００も５倍します。
妹のほうは５を８倍の４０にしたので、四角の３も３００も８倍です。
丸の比を４０にした図をかいてみましょう。
丸の４０さえそろっていれば、後は適当にかいても大丈夫です。
線分図を見たら、２４００−１５００＝９００円が四角の２５−２４＝１であることが一目でわかります。
（２４００−１５００）÷（２５−２４）＝９００
四角の１が９００円であり、問いは「はじめ、兄は何円もっていましたか」でしたから、もう一度もとの線分図を見て、はじめの兄は四角の５＋３００円より９００×５＋３００＝４８００円。
例題３（和も差も変化するとき）
兄と妹の所持金の比は３：２でしたが、兄は３５０円使い、妹は１５０円もらったので、兄と妹の持っているお金の比は２：９になりました。はじめ、兄はいくらもっていましたか。
やはり最初に、問題文にできるだけ忠実に線分図をかきます。
次に、丸か四角の比を公倍数にそろえた図をかきます。
丸の３と２を公倍数の６にそろえてかいてみましょう。
兄は３を６にするので、すべてを２倍します。
妹は２を６にするので、すべてを２倍します。
次の図のようになります。
丸を６にそろえてかいた線分図で、７００＋４５０が四角の２７−４だとわかります。
（７００＋４５０）÷（２７−４）＝１１５０÷２３＝５０円。
四角の１にあたる量は５０円だとわかりました。
「はじめ、兄はいくらもっていましたか」という問いで、最初の兄は四角の２＋３５０円ですから５０×２＋３５０＝４５０円。
このように、公倍数を利用して同じ比を作ることによって、いろいろあるように見える倍数算を統一した１つの方法で解くことができます。
消去算と類似の発想で倍数算と意識しないで解くことができるので、私は和が一定であること見つけたり差が一定であることを見つけてとく方法より数段すぐれたやり方ではないかと思っています（やや、自画自賛です）。
*****算数の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****
似た問題をまったく別の方法で解くのは、受験生にとって負担が大きいと思うからです。
算数・数学のコツとして、「２種類以上の数値が出てきたときは１つをそろえてやって残ったもので解けばよい」があります（小学生だと消去算、中学生だと連立方程式がその代表的なものです）。
公倍数を使えば簡単に１つのものをそろえることができるので、３種類ある倍数算をその方法１つだけで解くことができます。
例題１（和が一定のとき）
兄と妹の所持金の比は５：３でしたが、兄が妹に５００円あげたので、２人の比は５：４になりました。はじめ、兄は何円もっていましたか。
（解説と解答）
解き始める前に丁寧に線分図をかかないといけないのはすべての問題に共通です。
線分図を見て解く自分自身のために、ふだんから、できるだけ問題の数字に忠実な図をかくべきです。最初の比は丸で囲む、後の比は四角で囲むなどの区別をしておくと、自分自身が後ですごく楽になります。
線分図がかけたら、次にどちらかの比を公倍数を使ってそろえてやります。
どちらをそろえてもかまいません。
今日は、丸で囲んだほうの比を、５と３の公倍数１５にそろえて解いてみましょう。
丸で囲んだ５と３を１５にそろえた図を右にかきます。
線分図をかくときに注意するのは同じものを表わす１５をきちんとそろえること。
そこさえ正確であれば、あとは適当にかいても大丈夫です。
兄のほうは、５が３倍の１５になるので、四角の５も金額の５００円も３倍の１５と１５００円になります。
同じように妹は、３が５倍の１５になるので、四角も金額も５倍して四角は２０、金額は２５００円になります。
最後に右にかき直したほうの線分図をながめると、兄の四角は１５、妹の四角は２０であり、そのちがいは１５００＋２５００＝４０００だと一目でわかります。
この４０００円を、四角の２０と１５のちがいの５でわると４０００÷（２０−１５）＝８００ですから、四角１つ分は８００円です。
これで解けました。
問いは、「はじめ、兄は何円もっていましたか」でした。線分図をながめると、はじめの兄は四角の５に５００円をたしたものです。
四角の１は８００円ですから、はじめの兄は８００×５＋５００＝４５００円です。
例題２（差が一定のとき）
兄と妹の所持金の比は８：５でしたが、３００円ずつ使ったので残金の比が５：３になりました。はじめ、兄は何円もっていましたか。
（解説と解答）
最初の線分図を丁寧にかきます。
どちらをそろえてもかまいませんが、丸で囲んだ比をそろえるとすると８と５の公倍数である４０にしたらよいということになります。
兄のほうは８を５倍の４０にしたので、四角の５も３００も５倍します。
妹のほうは５を８倍の４０にしたので、四角の３も３００も８倍です。
丸の比を４０にした図をかいてみましょう。
丸の４０さえそろっていれば、後は適当にかいても大丈夫です。
線分図を見たら、２４００−１５００＝９００円が四角の２５−２４＝１であることが一目でわかります。（２４００−１５００）÷（２５−２４）＝９００
四角の１が９００円であり、問いは「はじめ、兄は何円もっていましたか」でしたから、もう一度もとの線分図を見て、はじめの兄は四角の５＋３００円より９００×５＋３００＝４８００円。
例題３（和も差も変化するとき）
兄と妹の所持金の比は３：２でしたが、兄は３５０円使い、妹は１５０円もらったので、兄と妹の持っているお金の比は２：９になりました。はじめ、兄はいくらもっていましたか。
やはり最初に、問題文にできるだけ忠実に線分図をかきます。
次に、丸か四角の比を公倍数にそろえた図をかきます。
丸の３と２を公倍数の６にそろえてかいてみましょう。
兄は３を６にするので、すべてを２倍します。
妹は２を６にするので、すべてを２倍します。
次の図のようになります。
丸を６にそろえてかいた線分図で、７００＋４５０が四角の２７−４だとわかります。
（７００＋４５０）÷（２７−４）＝１１５０÷２３＝５０円。
四角の１にあたる量は５０円だとわかりました。
「はじめ、兄はいくらもっていましたか」という問いで、最初の兄は四角の２＋３５０円ですから５０×２＋３５０＝４５０円。
このように、公倍数を利用して同じ比を作ることによって、いろいろあるように見える倍数算を統一した１つの方法で解くことができます。
消去算と類似の発想で倍数算と意識しないで解くことができるので、私は和が一定であること見つけたり差が一定であることを見つけてとく方法より数段すぐれたやり方ではないかと思っています（やや、自画自賛です）。
*****算数の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****
」
でも、倍数算が分かれて、よかったです。