対頂角が等しいわけ

2本の直線が交わったときにできる、向かいあった角どうしを対頂角といいます(頂点があい対しているから)。
「対頂角は等しい」と覚えますが、なぜ対頂角は等しいのかを説明できる人は少ない。

1左の図で、∠aと∠cが対頂角です。
∠a+∠b=180度。
よって、∠a=180度−∠b・・・(1)
また、∠c+∠b=180度。
よって、∠c=180度−∠b・・・(2)
(1)(2)より、ともに180度−∠bだから、∠a=∠c。
以上が、対頂角が等しくなることの証明です。


「対頂角が等しい」を使う代表的な問題

2左の図で、∠×は何度でしょうか。

赤丸のついた角度を求めてから解くこともできますが(180−50−32で求められます)、遠回りになります。

三角形の内角の和は180°であり、対頂角の赤丸どうしは等しいので、
50+32=63+×から、
50+32−63=19°と解くべきです。


3対頂角は等しいので、つねに∠a+∠b=∠c+∠dが成り立ちます。







この図を活用すると解ける、いくつかの問題があります。

角の和を求める問題

4左の図で、印をつけた5つの角の和は何度でしょうか。

∠a、∠b、∠c、∠d、∠eのそれぞれが何度かはわかりません。
しかし、5つの角の和は求めることができます。




4の2下に、赤線で示した補助線をひきます。
対頂角が等しいので、∠c+∠d=∠f+∠g。
だから、∠a+∠b+∠c∠d+∠e=∠a+∠b+∠f∠g+∠e。

∠a+∠b+∠f∠g+∠e=180°ですから、
∠a+∠b+∠c∠d+∠e=180°ということになります。


星形の図形の角の和

中学校の定期テストでよく出る問題です。
左の図で、印をつけた5つの角の和は何度でしょうか。

5「三角形の2つの内角の和はとなりあわない外角に等しい」を使っても解くことができますが、「対頂角は等しい」を使って解くほうが簡単です。






5の2下に補助線をひきます。

対頂角は等しいので、∠b+∠e=∠f+∠g。
よって、∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=∠a+∠c+∠d+∠f∠g

∠a+∠c+∠d+∠f∠g=180°ですか
∠a+∠b+∠c+∠d+∠e=180°。

つまり、星形の図形の5つの角の和は180°です。



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