ほんのちょっとした工夫をするだけで、難問をやさしい問題に変えることができる技があります。

「直角三角形が出てきたら、直角でない角に○と×をつけておく」も、そんな技の一つです。

例題1:図のように、直角二等辺三角形ABCの頂点Aを通る直線mに頂点B、1Cから垂線BD、CEをひく。このとき、△ABD≡△CAEを証明せよ。







(解き方)

直角三角形△ABDと△CAEで、仮定より∠ADB=∠CEA=90°であること、△ABCが直角二等辺三角形だからAB=CAであることはすぐにわかります。
あと1つ、等しいものを見つけないといけませんがどこでしょうか?

AD=CE、DB=EAは、どちらも言えそうにないので、∠ABD=∠CAEか、∠DAB=∠ECAのどちらかを言わないといけないのですが、なぜ等しいと言えるのかわかりますか。

何も準備をしないで解き始めると、ほとんどの人が途中でどう書いたらよいかわからなくなる問題です。

ところが、「直角三角形が出てきたら、直角でない角に○と×をつけておく」と、逆にほとんどの人がすらすら解けるやさしい問題に変わります。

2△ABDの直角でない角に○と×をつけます。
そうすると、○+×=90°であること、×+∠CAE=90°であることを簡単に気づくことができます。

詳しく説明します。

左の△ABDで、三角形の内角の和は180度です。
そして、∠ADB=90°ですから、○=180°−90°−×です。
つまり、∠ABD(○)=180°−90°−∠DAB(×)。

また、直線ですから∠DAE=180°です。
そして、∠BAC=90°ですから、∠CAE=180°−90°−×です。
∠CAE(○)=180°−90°−∠DAB(×)。

このように、
∠ABD=三角形の180°−90°−∠DAB、
∠CAE=直線の180°−90°−∠DAB
となって、∠ABD=∠CAEであることが簡単にわかります。


(解答)

△ABDと△CAEにおいて、
点B、Cから垂線BD、CEをひいたので、仮定より∠ADB=∠CEA=90°…(1)
△ABCが直角二等辺三角形だから、仮定よりAB=CA…(2)
2三角形の内角の和は180°だから、∠ABD=180°−90°−∠DAB
D、A、Eは1直線にあるから、∠CAE=180°−90°−∠DAB
ともに、180°−90−∠DABだから、∠ABD=∠CAE…(3)
(1)(2)(3)より、直角三角形で斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいから、
△ABD≡△CAE



例題2:△ABCは、∠A=90°の直角二等辺三角形である。頂点A3を通り、△ABCの内部を通る直線に、頂点B、Cから垂線BD、CEをひく。このとき、BD−CE=DEであることを証明せよ。







(解答)
△ABDと△CAEにおいて、
B、Cから垂線BD、CEをひいたので、仮定より∠BDA=∠AEC=90°…(1)
△ABCは、∠A=90°の直角二等辺三角形だから、仮定よりAB=CA…(2)
4三角形の内角の和は180°だから、∠ABD
=180°−∠ADB−∠BAD
=180°−90°−∠BAD
=90°−∠BAD
また、∠BAC=90°だから、
∠CAE=90°−∠BAD
ともに90°−∠BADだから、
∠ABD=∠CAE…(3)
(1)(2)(3)より、直角三角形で、斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので、
△ABD≡△CAE

合同な図形の対応する辺の長さは等しいのでBD=AE、AD=CE
また、AE=AD+DE
よって、BD=AE=AD+DE=CE+DE
BD=CE+DEとなるから、
BD−CE=DE


このように、直角三角形の問題では、直角でない角に○と×をつけておくとわかりやすくなる問題が多いのです。


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