ほんのちょっとした工夫をするだけで、難問をやさしい問題に変えることができる技があります。

「直角三角形が出てきたら、直角でない角に○と×をつけておく」も、そんな技の一つです。

例題１：図のように、直角二等辺三角形ＡＢＣの頂点Ａを通る直線ｍに頂点Ｂ、１Cから垂線ＢＤ、ＣＥをひく。このとき、△ＡＢＤ≡△ＣＡＥを証明せよ。







（解き方）

直角三角形△ＡＢＤと△ＣＡＥで、仮定より∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＡ＝９０°であること、△ＡＢＣが直角二等辺三角形だからＡＢ＝ＣＡであることはすぐにわかります。
あと１つ、等しいものを見つけないといけませんがどこでしょうか？

ＡＤ＝ＣＥ、ＤＢ＝ＥＡは、どちらも言えそうにないので、∠ＡＢＤ＝∠ＣＡＥか、∠ＤＡＢ＝∠ＥＣＡのどちらかを言わないといけないのですが、なぜ等しいと言えるのかわかりますか。

何も準備をしないで解き始めると、ほとんどの人が途中でどう書いたらよいかわからなくなる問題です。

ところが、「直角三角形が出てきたら、直角でない角に○と×をつけておく」と、逆にほとんどの人がすらすら解けるやさしい問題に変わります。

２△ＡＢＤの直角でない角に○と×をつけます。
そうすると、○＋×＝９０°であること、×＋∠ＣＡＥ＝９０°であることを簡単に気づくことができます。

詳しく説明します。

左の△ＡＢＤで、三角形の内角の和は１８０度です。
そして、∠ＡＤＢ＝９０°ですから、○＝１８０°−９０°−×です。
つまり、∠ＡＢＤ（○）＝１８０°−９０°−∠ＤＡＢ（×）。

また、直線ですから∠ＤＡＥ＝１８０°です。
そして、∠ＢＡＣ＝９０°ですから、∠ＣＡＥ＝１８０°−９０°−×です。
∠ＣＡＥ（○）＝１８０°−９０°−∠ＤＡＢ（×）。

このように、
∠ＡＢＤ＝三角形の１８０°−９０°−∠ＤＡＢ、
∠ＣＡＥ＝直線の１８０°−９０°−∠ＤＡＢ
となって、∠ＡＢＤ＝∠ＣＡＥであることが簡単にわかります。


（解答）

△ＡＢＤと△ＣＡＥにおいて、
点Ｂ、Ｃから垂線ＢＤ、ＣＥをひいたので、仮定より∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＡ＝９０°…（１）
△ＡＢＣが直角二等辺三角形だから、仮定よりＡＢ＝ＣＡ…（２）
２三角形の内角の和は１８０°だから、∠ＡＢＤ＝１８０°−９０°−∠ＤＡＢ
Ｄ、Ａ、Ｅは１直線にあるから、∠ＣＡＥ＝１８０°−９０°−∠ＤＡＢ
ともに、１８０°−９０−∠ＤＡＢだから、∠ＡＢＤ＝∠ＣＡＥ…（３）
（１）（２）（３）より、直角三角形で斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいから、
△ＡＢＤ≡△ＣＡＥ



例題２：△ＡＢＣは、∠Ａ＝９０°の直角二等辺三角形である。頂点Ａ３を通り、△ＡＢＣの内部を通る直線に、頂点Ｂ、Ｃから垂線ＢＤ、ＣＥをひく。このとき、ＢＤ−ＣＥ＝ＤＥであることを証明せよ。







（解答）
△ＡＢＤと△ＣＡＥにおいて、
Ｂ、Ｃから垂線ＢＤ、ＣＥをひいたので、仮定より∠ＢＤＡ＝∠ＡＥＣ＝９０°…（１）
△ＡＢＣは、∠Ａ＝９０°の直角二等辺三角形だから、仮定よりＡＢ=ＣＡ…（２）
４三角形の内角の和は１８０°だから、∠ＡＢＤ
＝１８０°−∠ＡＤＢ−∠ＢＡＤ
＝１８０°−９０°−∠ＢＡＤ
＝９０°−∠ＢＡＤ
また、∠ＢＡＣ＝９０°だから、
∠ＣＡＥ＝９０°−∠ＢＡＤ
ともに９０°−∠ＢＡＤだから、
∠ＡＢＤ＝∠ＣＡＥ…（３）
（１）（２）（３）より、直角三角形で、斜辺と１つの鋭角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＤ≡△ＣＡＥ

合同な図形の対応する辺の長さは等しいのでＢＤ＝ＡＥ、ＡＤ＝ＣＥ
また、ＡＥ＝ＡＤ+ＤＥ
よって、ＢＤ＝ＡＥ＝ＡＤ+ＤＥ＝ＣＥ＋ＤＥ
ＢＤ＝ＣＥ＋ＤＥとなるから、
ＢＤ−ＣＥ＝ＤＥ


このように、直角三角形の問題では、直角でない角に○と×をつけておくとわかりやすくなる問題が多いのです。


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