戦争のとき、兵隊を配列します。配列の仕方を陣(じん)といい、正方形の形に兵隊を並べた陣が方陣です。

方陣のように正方形に並べたものを算数の問題として考えてみようというのが方陣算です。

方陣には2種類のものがあります。
中実方陣・・・中までつまった方陣です。
中空方陣・・・中が空いた方陣です。

中実方陣
中実方陣






中空方陣
中空方陣






方陣算の基礎

例題1:
図のように、碁石(ごいし)を縦・横に7個ずつ並べ、正方形の形にしました。
例題1(1)正方形の一番外側には何個の碁石がありますか。
(2)碁石は全部で何個ありますか。



(1)まわりの個数を求める問題の解き方
例題1の2
縦と横に7個並んでいることから、
7×4=28個
四すみの4個は2回数えたことになるから、
28−4=24個
で求められます。






しかし、もっと簡単に数える方法があります(算数・数学では簡単なほど、よい方法です)。

例題1の3
左図のように区切ります。
6個の組が4つあるから、
6×4=24個

これだと一発で求められます。

この区切り方を活用するのが方陣算です。




(2)碁石全部の個数を求める問題
こちらは簡単です。
縦に7個、横に7個並んでいるので、7×7=49個です。


例題2:正方形のタイルを、縦、横にすきまなく並べて正方形をつくるとタイルが9枚あまりました。そこで、縦、横1列ずつふやそうとしたところ14枚たりなくなりました。タイルは全部で何枚ありますか。

(解き方)
例題2左の図のようになったわけです。

9枚あまり、1列ふやすと14枚不足するので、1列ふやすのに必要なタイルの枚数は、
9+14=23枚

右下すみの1枚は、縦にも横にもふくまれますから、
(23+1)÷2=12
1列ふやしたときの縦、横には、それぞれ12枚のタイルが並ぶことがわかります。

1列ふやしたときの縦、横にあるタイルの枚数は12枚で、それに14枚たりないので、タイルの枚数は
12×12−14=144−14=130枚


または、図をながめると、もとの正方形(図の点線のところにある正方形)の1辺にあった正方形の枚数は11枚だとわかります。
縦、横に11枚ずつのタイルがあったので、
11×11=121枚
9枚あまったので、タイルの枚数は
121+9=130枚

方陣算に過不足算を組み合わせた問題ですね。


例題3:図のように、おはじきを、中が空(から)の、幅3列の正方形例題3に並べました。このとき、一番外側のおはじきの数が36個になりました。
おはじきは全部で何個ありますか。











(解き方)
方陣算の基本である下の図で考えていきます。
例題3の2一番外側のおはじきの数が36個」とあるので、36÷4=9
左図の枠1つに9個のおはじきが並んでいることになります(一番外側の縦、横に並んでいるおはじきの個数は9+1=10個です)。

そのことをふまえて、3列のおはじきを同じように区切ります。
例題3の3
青色の枠の3列あるおはじきのうち1列に並んでいるおはじきの数は、
10−3=7個です。

ゆえに、青色の枠1つの中にふくまれているおはじきの数は、
7×3=21個。

その枠が4つあるので、おはじきの総数は
21×4=84個です。



例題4:図のように、同じ大きさの正方形の青いタイルをまん中に4枚置き、2重目に白タイル、3重目に青タイルと交互に囲んでいき、例題41平方mの床を8重目の白タイルできっちりとしきつめました。
(1)1枚のタイルの1辺の長さは何cmですか。
(2)この床に使われた青タイルと白タイルの枚数の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。








(解き方)
(1)1枚のタイルの1辺の長さは何cmですか。

どのような規則で並んでいるのか、まず規則を見つけたほうがよいでしょう。

縦、横に並んだタイルそれぞれの枚数は、
1重目…2枚(1×2)
2重目…4枚(2×2)
3重目…6枚(3×2)
・・・
となっています。

だから、8重目の縦、横に並んでいるタイルの枚数は8×2=16枚です。

1平方mの正方形の1辺は1m=100cmであり、そこに16枚のタイルが100cmに並んでいるから、1枚のタイル1辺の長さは
100÷16=6.25cm。

(2)この床に使われた青タイルと白タイルの枚数の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

方陣算の基本である
例題3の2




を活用します。
それぞれに並んだタイルの数は、
1重目…1×4=4枚(青)
2重目…3×4=12枚(白)
3重目…5×4=20枚(青)
4重目…7×4=28枚(白)
5重目…9×4=36枚(青)
6重目…11×4=44枚(白)
7重目…13×4=52枚(青)
8重目…15×4=60枚(白)

n重目のとき、(2×n−1)×4枚になっていることに気づけば成功です(8重目でそれほど大きい数ではないので、3重目の続きを8重目まで書いて見つけてもよい)。

青色のタイルの枚数は(1+5+9+13)×4
白色のタイルの枚数は(3+7+11+15)×4

青タイルと白タイルの比は
(1+5+9+13):(3+7+11+15)
=28:36
=7:9


例題5:図のように、白色の碁石の中実方陣の一番外側を黒色の碁石で囲みます。中の白色の碁石の数が121個のとき、まわりの黒色の例題5碁石の数は何個ですか。



白色の碁石の数の個数を調べてみると、
1×1=1個
2×2=4個
3×3=9個
・・・
となっていることがわかります。
同じ数字をかけて121になるのは、数字がいくつのときでしょうか?
答えは11×11のときです。
11×11=121です。

同じ数どうしをかけることを2乗(2じょう)といいます。
2乗して求められる数(平方数といいます)は次のようなものです。
・・・1×1
・・・2×2
・・・3×3
16・・・4×4
25・・・5×5
36・・・6×6
49・・・7×7
64・・・8×8
81・・・9×9
100・・・10×10
121・・・11×11
144・・・12×12
169・・・13×13
196・・・14×14
225・・・15×15
256・・・16×16
289・・・17×17



このような、同じ数どうしをかけた数は、小学生でも知っておいたほうがよいのです。

この問題だと、121が11×11であることを知っていたら、中の白色の碁石は縦に11個、横に11個並んだものだとすぐにわかります。

その外側に並んでいる黒色の碁石は、縦も横も11+2=13個の碁石が並んだ中空方陣です。
だから、黒色の碁石の数は、(13−1)×4=48個です。



*****算数の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****