IMさんから、次の問題を速く解くにはどう解いたらよいかというご質問を受けました(正の整数の範囲で考える問題です)。


出題:次の数字の間に+、-、×、÷、( )を入れて、答えが10になる式をつくりなさい。
(1) 4 7 8 6
(2) 6 8 2 5
(3) 9 6 3 7
(4) 5 8 2 3



最初は、よい解き方があるのかどうかすら全く見当がつかなかったのですが、Kさんのご教示も得て、なんとか解き方らしいものを思いつきました。

解いていくとき、タイプとして、

1、前の2つの数の計算の結果と、後ろの2つの数の計算の結果で10をつくる・・・(A*B)(C*D)タイプ

2、先頭の数と、後ろの3つの計算の結果とで10を作る・・・A(B*C*D)タイプ

3、前の3つの数の計算の結果と、最後の数とで10を作る・・・(A*B*C)Dタイプ

の3つがあるのではないかと考えました。

4つの問題を、タイプ別に考察したのが以下です。


(A*B)*(C*D)の検討(*の場所には+、-、×、÷のいずれかが入ります)

(1)4 7 8 6
前の4、7でできる計算は4+7=11か4×7=28です。
後ろの8、6を加減乗除して11-1=10か28-18=10ができればよいのですが、無理です。

(2)6 8 2 5
前の6、8でできる計算は6+8=14か、6×8=48。
後ろの2、5の2数で、14-4=10、48-38=10になる式はできません。

(3)9 6 3 7
前の9、6でできる計算は9+6=15、9-6=3、9×6=54です。
後ろの3、7の計算の組合せで、10になることはありません。

(4)5 8 2 3
前の5、8でできる計算は、5+8=13か、5×8=40だけ。
後ろの2、3の計算で13を10にしたり、40を10にすることはできません。

以上の検討より、(A*B)*(C*D)の計算の結果が10になることはありませんでした。



A(B*C*D)の検討(先頭の数と、後ろの3つの数の計算結果で10を作る)


(1) 7 8 6

6ができるかどうか・・・後ろの7、8、6の計算の組合せで6になる式はありません。

それ以外の4-(7*8*6)、4×(7*8*6)、4÷(7*8*6)が10になることはありません。


(2) 8 2 5

4ができるかどうか・・・後ろの8、2、5を組み合わせて4をつくることはできません。
先頭の6を使って、他に10になる計算はありません。


(3) 6 3 7

1ができるかどうか・・・後ろの6、3、7の組合せで1をつくることはできません。
先頭の9と他の数との計算で、たし算以外に10になることはありません。


(4) 8 2 3

5ができるかどうか・・・後ろの8、2、3を組み合わせた計算で5になる計算はありません。
×2ができるかどうか・・・8-2×3で2ができます。  5×(8-2×3)=10


(A*B*C)Dの検討(前の3つの数の計算結果と、最後の数の計算で10を作る)

(1)4 7 8 

ができるかどうか・・・前の4、7、8を組み合わせた計算で4をつくることはできません。
16ができるかどうか・・・4、7、8で、16になる計算はありません。
60÷ができるかどうか・・・4+7×8で60ができます。   (4+7×8)÷6=10
4×(7+8)でも60ができます。   4×(7+8)÷6=10


(2)6 8 2 

ができるかどうか・・・6、8、2の計算の組合せで5はできません。
15ができるかどうか・・・6、8、2の計算を組合わせて15はできません。
×ができるかどうか・・・6-8÷2で2ができます。   (6-8÷2)×5=10
50÷ができるかどうか・・・6×8+2で50ができます。   (6×8+2)÷5=10


(3)9 6 3 

ができるかどうか・・・9÷(6-3)で3ができます。   9÷(6-3)+7=10
17ができるかどうか・・・9、6、3の計算の組合せで17はできません。
70÷ができるかどうか・・・9、6、3の組合せで70は作れません。


(4)5 8 2 

ができるかどうか・・・5、8、2の計算の組合せで7はできません。
13ができるかどうか・・・5、8、2の組合せで13はできません。
30÷ができるかどうか・・・5×(8-2)で30ができます。   5×(8-2)÷3=10


以上より、
(1)4 7 8 6
・・・
(4+7×8)÷6=10または4×(7+8)÷6=10

(2)6 8 2 5
・・・
(6-8÷2)×5=10または(6×8+2)÷5=10

(3)9 6 3 7
・・・
9÷(6-3)+7=10

(4)5 8 2 3
・・・5×(8-2×3)=10または5×(8-2)÷3=10


実際に問題を解くときは、上に書いたようにのんびりと計算することはできませんが、同じような思考経路を経て正解を見つけているのではないでしょうか。

(正直に白状しますと、上記のやり方でも、最初に原稿を書いたときは2つ、正解を見逃していました。)



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