ある四角形が「平行四辺形であることの証明」、「平行四辺形になることの証明」について、そのコツをまとめます。


証明問題の鉄則

証明の問題のポイントは、述べたい結論根拠になること(=結論の一行前で言わないといけないこと)を、最初に目標として設定しておいて、それに向かって記述していくことです。

例えば、2つの直線が平行であることの証明だと、平行であることの根拠は(1)同位角が等しい、(2)錯角が等しいのどちらかしかありません。
だから、証明をするときは、最初から目標を同位角が等しいか錯角が等しいを述べることにしぼって記述していきます。

四角形が平行四辺形になることの証明もそうです。

平行四辺形だといえるための根拠は5つあります。
その5つの根拠のうちのどれをいうかを決断して、それを述べることを最初から目標として設定します。


平行四辺形になるための条件

ある四角形が平行四辺形であるというためには、次の5つの根拠のうちのどれかがいえないといけません。

1、2組対辺がそれぞれ平行である(平行四辺形の定義
2、2組対辺がそれぞれ等しい
3、2組対角がそれぞれ等しい
4、対角線がそれぞれの中点で交わる
5、1組対辺平行でその長さが等しい
1
この5つは、正確に覚えておかないといけません。
















では、実際の問題でさらにコツを極めます。

例題1:図で四角形ABCDは平行四辺形である。辺AD上に点E、辺例題1BC上に点FをAE=CFとなるようにとる。このとき、四角形EBFDは平行四辺形であることを証明しなさい。







(証明を書きはじめる前に考えること)

「平行四辺形であること」を証明する場合、結論の1行前で「平行四辺形になるための条件」の5つのうちのどれかをいわなければなりません。

最初に、5つの条件のうちのどれを根拠にするかを決めておかないと答案を書き始めることはできません。

そして、5つの条件のうちのどれを使えばよいかは、問題に提示してある図と、問題文に書いてある「仮定」を見たら見当がつきます。
例題1の2
この問題で「仮定」は、四角形ABCDが平行四辺形であることと、AE=CFです。

そうであれば、四角形EBFDで、ED=BFとED//BFがいえそうだと見当がつきます。

つまり、この問題では「平行四辺形であること」の根拠として、結論の1行前で、「1組対辺平行でその長さが等しい」をいえばよいのです。

目標が定まったので、その目標に向かって証明を書いていきます。


(証明)

四角形EBFDにおいて、

四角形ABCDが平行四辺形だからAD//BC
よってED//BC・・・(1)

また、四角形ABCDが平行四辺形だからAD=BC
ところが仮定よりAE=CFだから、
ED=BC・・・(2)

(1)(2)より、1組の対辺が平行でその長さが等しい。

よって、四角形EBFDは平行四辺形である。


(追記)

(1)三角形の合同の証明と同じように書けばよい。
三角形の合同の証明は、
1、「△~と△~において」と書きはじめ、
2、等しい辺か角を3つ見つけて、
3、合同条件を述べて、
4、最後に「△~≡△~」で終わります。

平行四辺形になることの証明も同様に、
1、「四角形~において」と書きはじめ、
2、等しい辺か角を2つ見つけて(平行四辺形の証明では見つけるもの2つです)、
3、平行四辺形になるための条件を述べて、
4、最後に「四角形~は平行四辺形である」で終わります。

(2)実は、平行四辺形になることを証明するとき、三角形の合同を利用すれば、平行四辺形のなるための5つの条件のどれでもいうことができます。
この問題でも、△ABE≡△CDFを先にいっておけば、「2組の対辺が等しい」や「2組の対角が等しい」もそのあとでいうことができます。

しかし、三角形の合同の利用は「遠回り」になることがほとんどです(この問題でもそうです)。

できるだけ三角形の合同を使わないでいう練習をしないと上達しません。


さて、平行四辺形になることの証明の要領がある程度理解できたでしょうから、他の問題で練習してみましょう。

例題2:図で、四角形ABCDは平行四辺形である。対角線の交点をO例題2とし、線分OA上に点E、線分OC上に点FをAE=CFとなるようにとる。このとき、四角形EBFDは平行四辺形であることを証明しなさい。






対角線がかいてあるので、図を見ただけで、平行四辺形になるための条件の4、「対角線がそれぞれの中点で交わる」が目標であることがわかると思います。

(証明)

四角形EBFDにおいて、

平行四辺形ABCDの対角線だから、BO=DO・・・(1)

同様にAO=COで、仮定よりAE=CFだから、EO=FO・・・(2)

(1)(2)より、対角線がそれぞれの中点で交わる。

よって、四角形EBFDは平行四辺形である。


このように、慣れたら、平行四辺形の証明は難しくありません。
次の問題は、例題1を応用問題にした、ちょっとだけ難しい問題です。

例題3:図で、四角形ABCDは平行四辺形である。辺AB、BC、CD、例題3DAの中点をそれぞれE、F、G、Hとする。また、線分AG、ECと線分HBとの交点をそれぞれI、Jとし、線分EC、AGと線分DFとの交点をそれぞれK、Lとする。このとき、四角形IJKLが平行四辺形であることを証明しなさい。





この問題はほとんどの問題集で取り上げられている問題ですが、解くための前提として、例題1が頭に入っていて、その発展問題であることを知っていないと、おそらく解けません。

四角形IJKLが平行四辺形であることを証明する前に、まず四角形HBFDと四角形AECGが平行四辺形であることを証明します。

(証明)

平行四辺形HBFDにおいて、

四角形ABCDが平行四辺形だから、その対辺の一部であるHD//BF・・・(1)

また、平行四辺形の対辺がADとBCであり、仮定より点Hと点Fが中点だから、HD=BF・・・(2)

(1)(2)より、1組の対辺が平行でその長さが等しいので、四角形HBFDは平行四辺形である。

同様に、四角形AECGも平行四辺形であるといえる。

ゆえに、四角形IJKLにおいて、

平行四辺形HBFDの対辺だからHB//DFより、IJ//LK・・・(3)
平行四辺形AECGの対辺だからAG//ECより、IL//JK・・・(4)

(3)(4)より、2組の対辺がそれぞれ平行だから、四角形IJKLは平行四辺形である。




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