中学受験の問題のうち、難問をとりあげます。
まず、規則性の問題です。
例題１：数が次のように規則正しくならんでいます。
1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4,5,6,…
（１）最初から１５３番目の数は何ですか。
（２）最初から２００番目の数までの中で、一の位が１になる数は何個ありますか。
（解き方）
１、まず、規則を見つける
（1,2,3,2,1）,（2,3,4,3,2）,（3,4,5,4,3）,（4,5,6,5,4）,（5,6,…
数が５個ずつ組になっていて、ｎ番目の組は（n,n+1,n+2,n+1,n）となっていることを見つけておきます。
２、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する
（１）最初から１５３番目の数は何ですか。
数が5個ずつ組になっているから、153を5でわって、153が何番目の組にふくまれるかを見つけます。
153÷5=30あまり3
153は、30組あった後の３１番目の組の3個目の数です。
ｎ番目の組は（n,n+1,n+2,n+1,n）だから、3１番目の組にふくまれる数は（31,32,33,32,31）です。
この組の3個目の数だから33が求める数です。
３、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる
（２）最初から２００番目の数までの中で、一の位が１になる数は何個ありますか。
最後の組がどんな数でできているかを見つけます。
200÷5=40
最後の組は40番目の組であり、（40,41,42,41,40）です。
一の位が１である数は、最初が（1,2,3,2,1）。
次が（9,10,11,10,9）、（10,11,12,11,10）、（11,12,13,12,11）。
次が（19,20,21,20,19）、（20,21,22,21,20）、（21,22,23,22,21
）。
次が（29,30,31,30,29）、（30,31,32,31,30）、（31,32,33,32,31
）。
最後が（39,40,41,40,39）、（40,41,42,41,40）。
一の位が１である数の個数は、最初が２個。
次が、１個＋2個＋2個の５個。
次も、同じ５個。
次も、同じ５個。
最後が、１個＋２個の３個。
以上より、２＋５×３＋３＝２０個。
例題２：１から１００までの整数を、次のように３つの数の組にならべます。
（1,3,5）、（2,4,6）、（3,5,7）、（4,6,8）、……、（96,98,100）
（１）３つの数の和が２３４になる組は、はじめから第何組ですか。
（２）３つの数の和が２４の倍数になる組は、何組ありますか。
（解き方）
１、まず、規則を見つける
３つの数で組になっており、ｎ番目の組は（n,n+2,n+4）となっています。
２、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する
（１）３つの数の和が２３４になる組は、はじめから第何組ですか。
n+(n+2)+(n+4)=234を解けばよい。
(234-6)÷3=228÷3=76
最初の数が７６だから、第７６番目の組です。
３、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる
（２）３つの数の和が２４の倍数になる組は、何組ありますか。
最も簡単な数で、「３つの数の和が２４の倍数になる」場合を見つけて、そこから規則を導き出します。
一番小さい２４の倍数は２４です。
３つの数の和が２４になるとき、その３つの数の組合せは、(24-6)÷3=6より、（6,8,10）です。
次の２４の倍数は４８です。
このとき、３つの数は、(48-6)÷3=14より、（14,16,18）。
ここで、３つの数の組が（6,8,10）、（6+8,8+8,10+8）になっていることに気づけば上出来。
それぞれの数が８ずつ増えており、合計で8×3=24増えており、２４の倍数も２４ずつ増えていくはずだから、これで規則が見つかりました。
３つの数の組の最初の数が、はじめが６、２番目が６＋８の１４、次が１４＋８の２２、･･･となればよいのです。
それぞれの組の最初の数が６、１４、２２、３０、…と８ずつふえていけば３つの数の和が２４の倍数になり、それ以外に２４の倍数はないこともわかります。
8×11=88であり、最初の数である６に８８をたすと９４ですから、見つけたい組の最後のものは（94,96,98）です。
最初が６で、それから８ずつ増える数が１１個あるので、最初の数が６、１４、２２、…９４である３つの数の組の数は、１＋１１＝１２組。
答えは１２組です。
例題３：図のように、白と黒のご石を一列にならべます。
○●●○○○●●●●○○○○○●●●●●●○○…
（１）白が１７個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。
（２）白５０個、黒５０個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。
（解き方）
１、まず、規則を見つける
白のご石は１、３、５、…とならんでいます。
黒のご石は２、４、６、…とならんでいます。
つまり、白のご石は奇数がならんだ数列であり、黒のご石は偶数がならんだ数列です。
２、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する
（１）白が１７個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。
ご石は、１、２、３、…、１６、１７とならんでいます。
（１、２）、（３、４）、…、（１５、１６）の組ができたあと、最後に１７が残ります。
白は奇数、黒は偶数ですから、（１、２）、（３、４）、…、（１５、１６）の８組目までは、各組とも偶数のほうが１だけ大きい数になっています。
ここまでは黒の偶数のほうが白のご石より８個多いということになります。
ところが、最後に奇数の白が１７個あります。
以上より、17-8=9個、白のご石のほうが多いとわかります。
３、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる
（２）白５０個、黒５０個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。
合わせて１００個であることも念頭において考えてみましょう。
１から１０までの数の和が５５であることを覚えておいて、それを使って解くと楽になる問題がよくあります。
1+2+3+…+9+10=55
そうすると、1+2+…+10+11=66
1+2+…+10+11+12=78
ここまでの白のご石の個数は、1+3+…+11=12×6÷2=36個。
ここまでの黒のご石の個数は、2+4+…+12=14×6÷2=42個。
次は１３個の白色のご石をならべるから、ならべた白のご石は36+13=49個。
その次は14個の黒のご石の順番ですが、黒のご石は５０個しかないので、ならべられる黒のご石の数は50-42=8個。
ここで黒色のご石はなくなります。
残ったご石は白色で、残った個数は50-49=1個です。
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まず、規則性の問題です。
例題１：数が次のように規則正しくならんでいます。
1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,3,4,5,4,3,4,5,6,5,4,5,6,…
（１）最初から１５３番目の数は何ですか。
（２）最初から２００番目の数までの中で、一の位が１になる数は何個ありますか。
（解き方）
１、まず、規則を見つける
（1,2,3,2,1）,（2,3,4,3,2）,（3,4,5,4,3）,（4,5,6,5,4）,（5,6,…
数が５個ずつ組になっていて、ｎ番目の組は（n,n+1,n+2,n+1,n）となっていることを見つけておきます。
２、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する
（１）最初から１５３番目の数は何ですか。
数が5個ずつ組になっているから、153を5でわって、153が何番目の組にふくまれるかを見つけます。
153÷5=30あまり3
153は、30組あった後の３１番目の組の3個目の数です。
ｎ番目の組は（n,n+1,n+2,n+1,n）だから、3１番目の組にふくまれる数は（31,32,33,32,31）です。
この組の3個目の数だから33が求める数です。
３、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる
（２）最初から２００番目の数までの中で、一の位が１になる数は何個ありますか。
最後の組がどんな数でできているかを見つけます。
200÷5=40
最後の組は40番目の組であり、（40,41,42,41,40）です。
一の位が１である数は、最初が（1,2,3,2,1）。
次が（9,10,11,10,9）、（10,11,12,11,10）、（11,12,13,12,11）。
次が（19,20,21,20,19）、（20,21,22,21,20）、（21,22,23,22,21
）。
次が（29,30,31,30,29）、（30,31,32,31,30）、（31,32,33,32,31
）。
最後が（39,40,41,40,39）、（40,41,42,41,40）。
一の位が１である数の個数は、最初が２個。
次が、１個＋2個＋2個の５個。
次も、同じ５個。
次も、同じ５個。
最後が、１個＋２個の３個。
以上より、２＋５×３＋３＝２０個。
例題２：１から１００までの整数を、次のように３つの数の組にならべます。
（1,3,5）、（2,4,6）、（3,5,7）、（4,6,8）、……、（96,98,100）
（１）３つの数の和が２３４になる組は、はじめから第何組ですか。
（２）３つの数の和が２４の倍数になる組は、何組ありますか。
（解き方）
１、まず、規則を見つける
３つの数で組になっており、ｎ番目の組は（n,n+2,n+4）となっています。
２、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する
（１）３つの数の和が２３４になる組は、はじめから第何組ですか。
n+(n+2)+(n+4)=234を解けばよい。
(234-6)÷3=228÷3=76
最初の数が７６だから、第７６番目の組です。
３、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる
（２）３つの数の和が２４の倍数になる組は、何組ありますか。
最も簡単な数で、「３つの数の和が２４の倍数になる」場合を見つけて、そこから規則を導き出します。
一番小さい２４の倍数は２４です。
３つの数の和が２４になるとき、その３つの数の組合せは、(24-6)÷3=6より、（6,8,10）です。
次の２４の倍数は４８です。
このとき、３つの数は、(48-6)÷3=14より、（14,16,18）。
ここで、３つの数の組が（6,8,10）、（6+8,8+8,10+8）になっていることに気づけば上出来。
それぞれの数が８ずつ増えており、合計で8×3=24増えており、２４の倍数も２４ずつ増えていくはずだから、これで規則が見つかりました。
３つの数の組の最初の数が、はじめが６、２番目が６＋８の１４、次が１４＋８の２２、･･･となればよいのです。
それぞれの組の最初の数が６、１４、２２、３０、…と８ずつふえていけば３つの数の和が２４の倍数になり、それ以外に２４の倍数はないこともわかります。
8×11=88であり、最初の数である６に８８をたすと９４ですから、見つけたい組の最後のものは（94,96,98）です。
最初が６で、それから８ずつ増える数が１１個あるので、最初の数が６、１４、２２、…９４である３つの数の組の数は、１＋１１＝１２組。
答えは１２組です。
例題３：図のように、白と黒のご石を一列にならべます。
○●●○○○●●●●○○○○○●●●●●●○○…
（１）白が１７個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。
（２）白５０個、黒５０個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。
（解き方）
１、まず、規則を見つける
白のご石は１、３、５、…とならんでいます。
黒のご石は２、４、６、…とならんでいます。
つまり、白のご石は奇数がならんだ数列であり、黒のご石は偶数がならんだ数列です。
２、次に、問いに合わせて、見つけた規則を活用する
（１）白が１７個連続したところでならべるのをやめました。白は黒より何個多いですか。
ご石は、１、２、３、…、１６、１７とならんでいます。
（１、２）、（３、４）、…、（１５、１６）の組ができたあと、最後に１７が残ります。
白は奇数、黒は偶数ですから、（１、２）、（３、４）、…、（１５、１６）の８組目までは、各組とも偶数のほうが１だけ大きい数になっています。
ここまでは黒の偶数のほうが白のご石より８個多いということになります。
ところが、最後に奇数の白が１７個あります。
以上より、17-8=9個、白のご石のほうが多いとわかります。
３、さらに、新たな規則を見つけて、あてはめる
（２）白５０個、黒５０個のご石をならべていき、どちらか一方がなくなったらならべるのをやめます。どちらのご石が何個残りますか。
合わせて１００個であることも念頭において考えてみましょう。
１から１０までの数の和が５５であることを覚えておいて、それを使って解くと楽になる問題がよくあります。
1+2+3+…+9+10=55
そうすると、1+2+…+10+11=66
1+2+…+10+11+12=78
ここまでの白のご石の個数は、1+3+…+11=12×6÷2=36個。
ここまでの黒のご石の個数は、2+4+…+12=14×6÷2=42個。
次は１３個の白色のご石をならべるから、ならべた白のご石は36+13=49個。
その次は14個の黒のご石の順番ですが、黒のご石は５０個しかないので、ならべられる黒のご石の数は50-42=8個。
ここで黒色のご石はなくなります。
残ったご石は白色で、残った個数は50-49=1個です。
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