高校入試で、数学のおもしろさを体現する良問なのでよく出題される問題群があります。
この稿で取り上げるのは、空間図形と最短距離の問題です。

2つの点を結ぶ最短距離は、2点をまっすぐに結ぶ線分です(なぜそうなるのかはこちらを参照)。

最短距離の問題が、空間図形だとどんなおもしろい問題になって出題されるのでしょうか。


例題1:図のような直方体ABCD-EFGHで、Aから辺BF上を通ってG1までひもをかける。最短になるときのひもの長さを求めよ。











(考え方と解き方)
ひもの長さが最短になるのは、2点をまっすぐな線分で結んだときです。この原理は不変です。
ところが、この問題では、ひもは辺BFで折れています。
しかし、「まっすぐ」なのです?!

1-2左の図で、点Aから点Bにいたる最短距離はAとGを結ぶ線分です。

左の線分が最短距離ですから、点線の部分で折り曲げたって最短距離であることにかわりはありません。

1-3












このことを逆からながめると、折れている面を通っているひもの最短1-4距離は、折れていた面を広げて平面にしたときの、2点を結ぶ線分だということになります。

つまり、空間図形でも最短距離は2点を結ぶ線分ですが、空間図形の場合、空間では曲がっているが、広げて平面にしたとき、つまり展開図にしたときの2点を結ぶ線分です。

以上より、この問題の解き方がわかってきます。







まず、展開図をかいてみます。
このとき、立体全部の展開図をかく必要はありません。必要な部分だけの展開図をかけば十分です。
1-5この図を見たら、求め方がわかります。

線分のAGの長さが、最短になるときのひもの長さです。

△AEGが直角三角形なので、三平方の定理を使って線分AGの長さを求めます。
AEの2乗+EGの2乗=AGの2乗より、
1-6








最短になるときのひもの長さは、2√109cmです。


もう少しだけ難しくすると、次の問題になります。

例題2:図は、底面の半径が5cm、母線の長さが15cmの円錐であ2る。底面の円周上の点Aから母線OB上の点を通り、この立体の側面にそって点Aまでもどる。そのときの最短距離は何cmか。






(解き方)
最短距離は、展開図にしたときの2点を結ぶ線分です。

この問題では、(1)どこを切り開いて展開図をかいたらよいのか、(2)側面がどんな形の展開図になるのか、の2点を解決しないと解けません。

まず、(1)どこを切り開いて展開図をかいたらよいのか。

答えは、点Aから出発して点Aにもどるわけだから、点Aを通る母線の2-2OAで切るべきです。

次に、(2)側面がどんな形の展開図になるのか、言い換えれば、側面の展開図の中心角である∠AOAは何度か、を解決しておかないといけません。

答えは、側面の半径が15cm、底面の半径が5cmで5/15=1/3だから、360°の1/3の120°です(なぜ、そうなるのかはこちらを参照)。

以上で準備完了です。
展開図上に、点Aから出て点Aにいたる線分をかいて解いていきます。
2-3












中心角の120°がヒントです。
2-4
二等辺三角形の定理、「二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分する」から、∠AOH=60°、∠OHA=90°。

△OAHは角度が90°,60°,30°の直角三角形だから、三平方の定理より辺OH:辺OA:辺AH=1:2:√3。

辺OA=15cmだから、辺OH=7.5cm、よって、AH=7.5√3cm。
よって、点Aから出て点Aにいたる線分の長さはAH×2で15√3cm。


さらに、もう少し難しくした問題をながめてみましょう。

例題3:底面がOを中心とする半径1cmの円で、母線の長さが6cm3の円錐がある。円錐の頂点をT、底面の半径の両端をA、Bとするとき、図のようにAを出発点としてTOのまわりを1回転半してBにいく円錐の側面上の経路を考える。最短の経路の長さを求めよ。


(解き方)
まず、(1)どこを切り開いて展開図をかいたらよいのか。

いろいろ考えてみても、TA以外にはなさそうです。

次に、(2)側面がどんな形の展開図になるのか。

通常であれば、問題で与えられた円錐そのものの展開図をかいて考えます。
ところが、この問題の場合、「一回転半」します。
円錐そのものの展開図をかくだけでは、そこにAからBにいたるまっすぐな線分をかくことはできません。

展開図上にまっすぐな線分をかかないと解けないわけですから、側面も1回転半分、つまり、側面の1.5倍の展開図をかけばよいのではないでしょうか。
3-2母線の長さが6cm、底面の半径が1cmなので、円錐の本来の展開図で、側面の中心角は360×1/6=60°です。

その1.5倍の側面をかくと、∠ATB=60×1.5=90°です。

これで解けそうです。

TA=6cm、TB=6cm、∠ATB=90°の直角二等辺三角形なので、辺の比は1:1:√2。

TA=TB=6だから、AB=6√2、答えは6√2cmです。




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