高校入試で、数学のおもしろさを体現する良問なのでよく出題される問題群があります。
この稿で取り上げるのは、「立体に内接する球」の問題です。

空間図形の問題は難しい問題が多いのですが、難しいからこそ数学のおもしろさを味わうことができます。


例題1:図のように、底面の半径が6cm、母線の長さが10cmの円錐に1球Oが内接している。球Oの半径を求めよ。


(考え方と解き方)
立体図形の問題はむずかしい。
問題は、平面の紙にかかれています。立体を平面にかくこと自体に無理がありますから、どうしてもむずかしくなります。

そこで、コツは、空間図形の問題を平面図形の問題にしてしまうことです。
問題を解くとき、必要な平面をかきだし、平面で考えるようにするのです。
1の2球の問題の場合、どこの平面を見つけたらよいかというと、決め手は接点です。
立体に、球がどこで接しているかを見つけ、その接点をふくむ平面を使って問題を解くのがコツです。

この問題は球の半径を求める問題ですから、とりだした平面に、さらに半径をかき込みます。

半径をかき込むときは、接線の定理『接線は接点を通る半径と垂直である』が活用できるようにかき込みます。
1の3
球が円錐に接している点をH、I、Jとします。

直角三角形ABHで、三平方の定理よりAH=8cm。

∠AHB=∠AJO=90°、∠BAH=∠OAJより、△ABH∽△AOJ
よって、BH:OJ=AB:AO
6:x=10:8-x
10x=6(8-x)
10x=48-6x
16x=48
x=3cm

球の半径は3cmです。


例題2:図のように、底面の半径が6cm、高さが8cmの円柱の内部2に、半径が等しい球A、Bが入っている。球Aと球Bはたがいに接し、球Aは円柱の下の面と側面に、球Bは円柱の上の面と側面に接している。このとき、2つの球の半径を求めよ。
 

(解き方)
例題1で述べたように、接点を見つけ、その接点をふくむ平面を取り出して、その平面で考えます。



2の2次に、球の半径を求める問題なので、平面の図に半径をかき込みます。

やはり、半径と接線が垂直になるように半径をかき込みます。







半径をかき込んだほうがよい場所に半径をかき込むと、次の図のようになります。
2の3
この段階ではまだ解けません。

この図を見て、さらに、どうやって解こうかと考えます。
そのとき頭にうかべたらよいのは、「図形の問題は相似か三平方で解くしかない」、です。





そうすると、例えば、次の図のような、三角形PABを見つけられたらなんとかな2の4るのではないかとわかってきます。

直角三角形△PABを見つけることができたら、三平方の定理を使うことができます。

2の5




















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