場合の数の問題で、たてと横にます目のような道があるときに、ある地点からある地点へ行く最も短い道のりをたずねる問題があります。

この問題は、解き方をあらかじめ知っておかないと解くのが難しい問題です。


例題:道路が同じ間隔でならんでいます。A地からB地まで、もっとも短い道のりになるように行くことにします。
(1)途中のC地を通っていくと、行き方は何通りありますか。
(2)A地からB地までの行き方は、全部で何通りありますか。

道順












(解き方・考え方)
もっとも短い道のり」とは、あともどりをしない、同じ点を二度と通らない、ということです。
言い換えれば、右か下かにしか行けないということです。

道順の求め方の基本を次に述べます。
道順の基本
図の点Aから点Dへ行く道が何通りあるかを考えます。
点Aから点Cへ行く方法は1通りです。
点Aから点Bへ行く方法も1通りです。
そうすると、点Aから点Dへ行く方法は、点Cを通る方法と点Bを通る方法とを合わせた個数になるので、1+1=2の2通りです。

点Cのところに1と書き、点Bのところに1と書き、両者の和を点Dのところに書けば、点Aから点Dへ行く場合を簡単に求めることができるということです。

この方法をもちいて、順に問題を解いていきましょう。

(1)途中のC地を通っていくと、行き方は何通りありますか。
まず、点Aから点Cへ行く行き方が何通りあるかを求めます。
(1)の1
点Aからa,b,c,d,eへ行く行きかたは1通りしかありませんから、最初に点a,b,c,d,eのところに数字の1を書いておきます。





(1)の2
次に、点fのところを書き込みます。
点aに書いた1と点dに書いた1の和ですから書き込む数字は2です。

次が点gです。
点bの1と、点fの2の和の3です。
点hに書き込む数字も3です。

(1)の3
次が点iと点jです。
点iは、cの1とgの3の和の4です。
点jは、gの3とhの3の和の6です。

以上より、最後に点Cに書き込む数字は、点iの4と点jの6の和なので10となり、まず、点Aから点Cへ行く道は10通りあることがわかります。

次に、点Cから点Bまで行く行き方を数えます。
(1)の4
図のように、3通りです。








最後に考えないといけないのが、点Aから点C行く10通りと、点Cから点Bへ行く3通りの関係です。

今度は、和、たし算ではありません。

点Aから点Cへいたる10通りのそれぞれについて、点Cから点Bへ行く方法が3通りずつあるので、積、かけ算になります。

10×3=30の30通りが答えです。


(2)A地からB地までの行き方は、全部で何通りありますか。
(1)で理解した方法をもちいて、すべての点にその点にいたる場合の数を書き込めば簡単に解けます。

(2)








答えは70通りです。






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