どんなときに、平面と直線は垂直だといえるのでしょうか？
左の図のように、一つの方向から見たら平面Pと直線Lが垂直であるように見えたとしても、別の方向から見たら垂直ではないとき、「平面と直線は垂直である」とは言えません。
そこで、数学では、『平面Pと直線Lとの交点をOとするとき、点Oを通る平面上の２本の直線ｍ、ｎとLが垂直であれば、平面Pと直線Lは垂直である』とします。
左の図で、直線L⊥直線ｍ、直線L⊥直線ｍのとき、直線L⊥平面Pなのです。
これは、空間図形ではとても重要な定理です。
やさしい問題では「直線L⊥直線ｍ、直線L⊥直線ｍのとき、直線L⊥平面P」 をことさら意識しないで問題を解いても大丈夫ですが、レベルの高い問題だと、知識として知っておかないと解けないことがあります。
例題：図の直方体ABCD-EFGHについて、面ABCDと垂直な辺をすべていえ。
（解答）
長方形の辺だからAB⊥BF、BC⊥BF。
だから、面ABCD⊥BF。
同様に考えて、面ABCDと垂直な辺はCG、DH、AE。
答えは、辺BF、辺CG、辺DH、辺AEです。
ところで、この例題は小学校でも出てくる簡単な問題なのですが、「面ABCDと垂直であるのは辺AB、BC、CD、DAである」とまちがえる人がよくいます。
もう一度、図で面ABCDと垂直になっている辺を見てください。
これって、何かの形に似ていませんか？
私には、テーブルに見えます。
だから、面に垂直な辺をなかなか見つけられない人には、「テーブルの脚が、面に垂直な辺なんだよ」、「面をテーブルとしたとき、テーブルの脚にあたる辺が、面に垂直な辺なんだ」と、見つけ方を指示しています。
（補足）
重要事項の１：
空間の２直線の位置関係は、「平行」・「交わる」・「ねじれの位置」の３つです。
そして、「平行」と「交わる」のとき、２本の直線は同一平面上にあります。
「ねじれの位置」は、２つの直線が同一平面上にないとき、です。
「垂直」は、「交わる」の一種であり、特に直角に交わるときを「垂直」といいます。
重要事項の２：
「交わる」かどうか、「垂直」であるかどうかは、図で実際に交わっているかどうかだけで判断してはいけません。
左の図で、辺BEと面P、辺CFと平面Pは、見た目では交わっていませんが、数学では「垂直」です。
つまり、「交わる」、「垂直」のうちには、延長すると「交わる」もの、延長すると「垂直」に交わるものもふくみます。
問題を解くときによく見落とすので、注意が必要です。
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左の図のように、一つの方向から見たら平面Pと直線Lが垂直であるように見えたとしても、別の方向から見たら垂直ではないとき、「平面と直線は垂直である」とは言えません。そこで、数学では、『平面Pと直線Lとの交点をOとするとき、点Oを通る平面上の２本の直線ｍ、ｎとLが垂直であれば、平面Pと直線Lは垂直である』とします。
左の図で、直線L⊥直線ｍ、直線L⊥直線ｍのとき、直線L⊥平面Pなのです。
これは、空間図形ではとても重要な定理です。
やさしい問題では「直線L⊥直線ｍ、直線L⊥直線ｍのとき、直線L⊥平面P」 をことさら意識しないで問題を解いても大丈夫ですが、レベルの高い問題だと、知識として知っておかないと解けないことがあります。
例題：図の直方体ABCD-EFGHについて、面ABCDと垂直な辺をすべていえ。
（解答）
長方形の辺だからAB⊥BF、BC⊥BF。
だから、面ABCD⊥BF。
同様に考えて、面ABCDと垂直な辺はCG、DH、AE。
答えは、辺BF、辺CG、辺DH、辺AEです。
ところで、この例題は小学校でも出てくる簡単な問題なのですが、「面ABCDと垂直であるのは辺AB、BC、CD、DAである」とまちがえる人がよくいます。
もう一度、図で面ABCDと垂直になっている辺を見てください。
これって、何かの形に似ていませんか？
私には、テーブルに見えます。
だから、面に垂直な辺をなかなか見つけられない人には、「テーブルの脚が、面に垂直な辺なんだよ」、「面をテーブルとしたとき、テーブルの脚にあたる辺が、面に垂直な辺なんだ」と、見つけ方を指示しています。
（補足）
重要事項の１：
空間の２直線の位置関係は、「平行」・「交わる」・「ねじれの位置」の３つです。
そして、「平行」と「交わる」のとき、２本の直線は同一平面上にあります。
「ねじれの位置」は、２つの直線が同一平面上にないとき、です。
「垂直」は、「交わる」の一種であり、特に直角に交わるときを「垂直」といいます。
重要事項の２：
「交わる」かどうか、「垂直」であるかどうかは、図で実際に交わっているかどうかだけで判断してはいけません。
左の図で、辺BEと面P、辺CFと平面Pは、見た目では交わっていませんが、数学では「垂直」です。
つまり、「交わる」、「垂直」のうちには、延長すると「交わる」もの、延長すると「垂直」に交わるものもふくみます。
問題を解くときによく見落とすので、注意が必要です。
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