平面だけで囲まれた立体を多面体といいます。
三角柱・三角錐・四角柱・四角錐・・・・などが多面体であり、円柱や円錐は平面と曲面で囲まれているので多面体ではありません。
多面体のうち、（１）どの面も合同な正多角形で、（２）どの頂点にも同じ数の面が集まり、（３）へこみのないものを正多面体といいます。
正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の５つです。
正四面体
底面も側面も正三角形の正三角錐のことです。
1つの頂点に３個の正三角形が集まっています。
正六面体
底面も側面も正方形の正四角柱、立方体のことです。
１つの頂点に３個の正四角形（正方形）が集まっています。
正八面体
側面が正三角形の正四角錘を上下にくっつけた形です。
１つの頂点に４個の正三角形が集まっています。
図の赤線の部分は正方形です。
正十二面体
１つの頂点に３個の正五角形が集まっています。
サッカーボールに似た正多面体です。
正二十面体
１つの頂点に５個の正三角形が集まった正多面体です。
図の赤線の部分は正五角形です。
正多面体は５つしかない
正多面体は５つしかありません。
なぜでしょうか？
正多面体を構成している正多角形（正三角形・正方形・正五角形）の１つの内角の大きさと、１つの頂点に集まっている面の数を考えてみればわかります。
まず、正六角形でできた正多面体はありません。
正六角形の１つの内角の大きさは120°です。
１つの頂点には最低３つの面が集まらないと立体にはなりません。
正六角形を３つ集めると120×3＝360°
ちょうど１つの平面になってしまって、立体にはなりません。
だから、正六角形でできた正多面体はないとわかります。
正七角形以上のものの１つの内角は120°を超えてしまい、３つ集めると360°を超えてしまうので、へこんでしまいます。
以上より、正六角形以上の面で正多角形をつくることはできないことがわかります。
次に、正三角形で何種類の正多面体ができるかを考えてみましょう。
正三角形の１つの内角の大きさは60°です。
面が３つ集まっても180°、これが正四面体です。
面が４つ集まっても240°、これが正八面体です。
面が５つ集まっても300°、これが正二十面体です。
面が６つ集まったら360°になってしまい、立体にならないので、正三角形が６つ以上１つの頂点に集まる正多面体はありません。
次に正方形でできている正多面体を考えます。
正方形の１つの内角は90°です。
面が３つ集まっても270°、これが正六面体です。
面を４つ集めると360°になり、立体にならないので、正方形でできる正六面体以外の正多面体はありません。
最後に正五角形でできている正多面体です。
正五角形の１つの内角は108°です。
面が３つ集まっても324°、これが正十二面体です。
面を４つ集めると360°を超えてしまうので、正五角形でできる正十二面体以外の正多面体はありません。
以上より、正多面体は５つ、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体だけしかないことがわかります。
面の数、辺の数、頂点の数
それぞれの正多面体は、いくつの面、何本の辺、何個の頂点からできているのでしょうか？
正四面体
面の数は、正「四」面体ですから当然４面です。
辺の数は底面に３本、その上に３本で計６本です。
頂点は底面に３個、それに頂点を加えて４個です。
正六面体
面の数は、さいころ形だから６面です。
辺の数は上の底面に４本、間に４本、下の底面に４本で計１２本です。
頂点は上と下の底面に４個ずつで８個です。
正八面体
面の数は８面。
辺の数は、上に４本、中の四角形に４本、下に４本で１２本。
頂点は上に１個、下に１個、中に４個で６個。
正十二面体
面の数は１２面です。
辺の数ですが、そろそろ数えるのがむずかしくなってきます。
計算で求める方法を考えてみましょう。
正十二面体の一つの面は正五角形です。だから辺の数は５本。
面が十二面あるから、5×12＝60本という式ができます。
ところが、１つの辺は２つの面の境目であり、１つの辺を２つの面で２回だぶって数えたことになります。だから、２でわって、60÷2＝30本。
これが、正十二面体の辺の本数です。
頂点も同じように、式で求めてみましょう。
正五角形だから、頂点の数は５個。面が１２あるから5×12＝60個。
ところが、１つの頂点に面が３つ集まっています。つまり、１つの頂点を３つの面で共有しています。３回だぶって数えたことになるから60÷3＝20個。
頂点の個数は２０個です。
正二十面体
面の数は２０面です。
辺の数を計算で求めます。
正三角形×２０面÷だぶって数えた２で、3×20÷2＝30本。
頂点の数も計算で求めます。
正三角形×２０面÷１つの頂点に５つの面が集まっているから５。
3×20÷5＝12個です。
オイラーの定理
１８世紀の数学者オイラーが発見した定理に、オイラーの多面体定理とよばれる定理があります。
すべての多面体（正多面体だけではありません）の面と辺と頂点の個数の間に、
面の数＋頂点の数－辺の数＝２
の式が成り立つ、これがオイラーの多面体定理です。
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三角柱・三角錐・四角柱・四角錐・・・・などが多面体であり、円柱や円錐は平面と曲面で囲まれているので多面体ではありません。
多面体のうち、（１）どの面も合同な正多角形で、（２）どの頂点にも同じ数の面が集まり、（３）へこみのないものを正多面体といいます。
正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の５つです。
正四面体
底面も側面も正三角形の正三角錐のことです。1つの頂点に３個の正三角形が集まっています。
正六面体
底面も側面も正方形の正四角柱、立方体のことです。１つの頂点に３個の正四角形（正方形）が集まっています。
正八面体
側面が正三角形の正四角錘を上下にくっつけた形です。１つの頂点に４個の正三角形が集まっています。
図の赤線の部分は正方形です。
正十二面体
１つの頂点に３個の正五角形が集まっています。サッカーボールに似た正多面体です。
正二十面体
１つの頂点に５個の正三角形が集まった正多面体です。図の赤線の部分は正五角形です。
正多面体は５つしかない
正多面体は５つしかありません。
なぜでしょうか？
正多面体を構成している正多角形（正三角形・正方形・正五角形）の１つの内角の大きさと、１つの頂点に集まっている面の数を考えてみればわかります。
まず、正六角形でできた正多面体はありません。
正六角形の１つの内角の大きさは120°です。
１つの頂点には最低３つの面が集まらないと立体にはなりません。
正六角形を３つ集めると120×3＝360°
ちょうど１つの平面になってしまって、立体にはなりません。
だから、正六角形でできた正多面体はないとわかります。
正七角形以上のものの１つの内角は120°を超えてしまい、３つ集めると360°を超えてしまうので、へこんでしまいます。
以上より、正六角形以上の面で正多角形をつくることはできないことがわかります。
次に、正三角形で何種類の正多面体ができるかを考えてみましょう。
正三角形の１つの内角の大きさは60°です。
面が３つ集まっても180°、これが正四面体です。
面が４つ集まっても240°、これが正八面体です。
面が５つ集まっても300°、これが正二十面体です。
面が６つ集まったら360°になってしまい、立体にならないので、正三角形が６つ以上１つの頂点に集まる正多面体はありません。
次に正方形でできている正多面体を考えます。
正方形の１つの内角は90°です。
面が３つ集まっても270°、これが正六面体です。
面を４つ集めると360°になり、立体にならないので、正方形でできる正六面体以外の正多面体はありません。
最後に正五角形でできている正多面体です。
正五角形の１つの内角は108°です。
面が３つ集まっても324°、これが正十二面体です。
面を４つ集めると360°を超えてしまうので、正五角形でできる正十二面体以外の正多面体はありません。
以上より、正多面体は５つ、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体だけしかないことがわかります。
面の数、辺の数、頂点の数
それぞれの正多面体は、いくつの面、何本の辺、何個の頂点からできているのでしょうか？
正四面体
面の数は、正「四」面体ですから当然４面です。辺の数は底面に３本、その上に３本で計６本です。
頂点は底面に３個、それに頂点を加えて４個です。
正六面体
面の数は、さいころ形だから６面です。辺の数は上の底面に４本、間に４本、下の底面に４本で計１２本です。
頂点は上と下の底面に４個ずつで８個です。
正八面体
面の数は８面。辺の数は、上に４本、中の四角形に４本、下に４本で１２本。
頂点は上に１個、下に１個、中に４個で６個。
正十二面体
面の数は１２面です。辺の数ですが、そろそろ数えるのがむずかしくなってきます。
計算で求める方法を考えてみましょう。
正十二面体の一つの面は正五角形です。だから辺の数は５本。
面が十二面あるから、5×12＝60本という式ができます。
ところが、１つの辺は２つの面の境目であり、１つの辺を２つの面で２回だぶって数えたことになります。だから、２でわって、60÷2＝30本。
これが、正十二面体の辺の本数です。
頂点も同じように、式で求めてみましょう。
正五角形だから、頂点の数は５個。面が１２あるから5×12＝60個。
ところが、１つの頂点に面が３つ集まっています。つまり、１つの頂点を３つの面で共有しています。３回だぶって数えたことになるから60÷3＝20個。
頂点の個数は２０個です。
正二十面体
面の数は２０面です。辺の数を計算で求めます。
正三角形×２０面÷だぶって数えた２で、3×20÷2＝30本。
頂点の数も計算で求めます。
正三角形×２０面÷１つの頂点に５つの面が集まっているから５。
3×20÷5＝12個です。
オイラーの定理
１８世紀の数学者オイラーが発見した定理に、オイラーの多面体定理とよばれる定理があります。
すべての多面体（正多面体だけではありません）の面と辺と頂点の個数の間に、
面の数＋頂点の数－辺の数＝２
の式が成り立つ、これがオイラーの多面体定理です。
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どうぞ、存分に活用してやってください。