平面だけで囲まれた立体を多面体といいます。
三角柱・三角錐・四角柱・四角錐・・・・などが多面体であり、円柱や円錐は平面と曲面で囲まれているので多面体ではありません。

多面体のうち、(1)どの面も合同正多角形で、(2)どの頂点にも同じ数が集まり、(3)へこみのないものを正多面体といいます。

正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5つです。
正多面体








正四面体
正四面体底面も側面も正三角形の正三角錐のことです。
1つの頂点に3個正三角形が集まっています。





正六面体
正六面体底面も側面も正方形の正四角柱立方体のことです。
1つの頂点に3個の正四角形(正方形)が集まっています。




正八面体
正八面体側面が正三角形の正四角錘を上下にくっつけた形です。
1つの頂点に4個正三角形が集まっています。
図の赤線の部分は正方形です。




正十二面体
正十二面体1つの頂点に3個正五角形が集まっています。
サッカーボールに似た正多面体です。





正二十面体
正二十面体1つの頂点に5個正三角形が集まった正多面体です。
図の赤線の部分は正五角形です。






正多面体は5つしかない

正多面体は5つしかありません。
なぜでしょうか?

正多面体を構成している正多角形(正三角形・正方形・正五角形)の1つの内角の大きさと、1つの頂点に集まっている面の数を考えてみればわかります。

まず、正六角形でできた正多面体はありません。
正六角形の1つの内角の大きさは120°です。
1つの頂点には最低3つの面が集まらないと立体にはなりません。
正六角形を3つ集めると120×3=360°
ちょうど1つの平面になってしまって、立体にはなりません。
だから、正六角形でできた正多面体はないとわかります。

正七角形以上のものの1つの内角は120°を超えてしまい、3つ集めると360°を超えてしまうので、へこんでしまいます。

以上より、正六角形以上の面で正多角形をつくることはできないことがわかります。


次に、正三角形で何種類の正多面体ができるかを考えてみましょう。
正三角形の1つの内角の大きさは60°です。

面が3つ集まっても180°、これが正四面体です。

面が4つ集まっても240°、これが正八面体です。

面が5つ集まっても300°、これが正二十面体です。

面が6つ集まったら360°になってしまい、立体にならないので、正三角形が6つ以上1つの頂点に集まる正多面体はありません。


次に正方形でできている正多面体を考えます。
正方形の1つの内角は90°です。
面が3つ集まっても270°、これが正六面体です。
面を4つ集めると360°になり、立体にならないので、正方形でできる正六面体以外の正多面体はありません。

最後に正五角形でできている正多面体です。
正五角形の1つの内角は108°です。
面が3つ集まっても324°、これが正十二面体です。
面を4つ集めると360°を超えてしまうので、正五角形でできる正十二面体以外の正多面体はありません。

以上より、正多面体は5つ、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体だけしかないことがわかります。


面の数、辺の数、頂点の数

それぞれの正多面体は、いくつの面、何本の辺、何個の頂点からできているのでしょうか?

正四面体
正四面体面の数は、正「四」面体ですから当然4面です。
辺の数は底面に3本、その上に3本で計6本です。
頂点は底面に3個、それに頂点を加えて4個です。




正六面体
正六面体面の数は、さいころ形だから6面です。
辺の数は上の底面に4本、間に4本、下の底面に4本で計12本です。
頂点は上と下の底面に4個ずつで8個です。



正八面体
正八面体(2)面の数は8面
辺の数は、上に4本、中の四角形に4本、下に4本で12本
頂点は上に1個、下に1個、中に4個で6個




正十二面体
正十二面体面の数は12面です。

辺の数ですが、そろそろ数えるのがむずかしくなってきます。
計算で求める方法を考えてみましょう。

正十二面体の一つの面は正五角形です。だから辺の数は5本
面が十二面あるから、5×12=60本という式ができます。
ところが、1つの辺は2つの面の境目であり、1つの辺を2つの面で2回だぶって数えたことになります。だから、2でわって、60÷2=30本
これが、正十二面体の辺の本数です。

頂点も同じように、式で求めてみましょう。
正五角形だから、頂点の数は5個。面が12あるから5×12=60個。
ところが、1つの頂点に面が3つ集まっています。つまり、1つの頂点を3つの面で共有しています。3回だぶって数えたことになるから60÷3=20個。
頂点の個数は20個です。


正二十面体
正20面体(2)面の数は20面です。

辺の数を計算で求めます。
正三角形×20面÷だぶって数えた2で、3×20÷2=30本

頂点の数も計算で求めます。
正三角形×20面÷1つの頂点に5つの面が集まっているから5。
3×20÷5=12個です。


オイラーの定理

18世紀の数学者オイラーが発見した定理に、オイラーの多面体定理とよばれる定理があります。

すべての多面体(正多面体だけではありません)の面と辺と頂点の個数の間に、
の数+頂点の数-の数=
の式が成り立つ、これがオイラーの多面体定理です。



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