相似な図形で、対応する辺の長さの比である相似比が例えば1:2であれば、面積の比はそれぞれの2乗(平方)の1:4、体積の比はそれぞれの3乗(立方)の1:8になります。
相似比と面積、体積





なぜか?と聞かれたとき、長さがa倍のとき、面積は2次元で縦×横だからa×a、体積は3次元で縦×横×高さだからa×a×aであるといえるし、だから面積の単位は平方cm、体積の単位は立方cmなんだよ、といえないこともありませんが、もう少しきちんと証明したいものです。


問題1:図の2つの長方形は相似で、長方形ABCDと長方形EFGHの図1相似比は1:kである。次のことを示せ。
(1)周の長さの比は1:kである。
(2)面積の比は1:k2乗になる。








(証明)
(1)
相似比が1:kだから、EF=ka、FG=kbである。
長方形ABCDの周の長さはa×2+b×2=2a+2b=2(a+b)
長方形EFGHの周の長さはka×2+kb×2=2ka+2kb=2k(a+b)

よって、周の長さの比は2(a+b):2k(a+b)
両辺を2(a+b)でわって、1:k

(2)
長方形ABCDの面積はa×b=ab
長方形EFGHの面積はka×kb=k2乗×ab

よって、面積の比はab:k2乗ab
両辺をabでわって、1:k2乗



問題2:図の2つの直方体は相似で、直方体ABCD-EFGHと直方体図2IJKL-MNOPの相似比は1:kである。次のことを示せ。
(1)表面積の比は1:k2乗である。
(2)体積の比は1:k3乗になる。










(証明)
(1)
相似比が1:kだから、IJ=ka、JK=kb、JN=kcである。
直方体ABCD-EFGHの表面積はa×b×2+b×c×2+a×c×2
=2ab+2bc+2ac
=2(ab+bc+ac)

直方体IJKL-MNOPの表面積はka×kb×2+kb×kc×2+ka×kc×2
3




よって、表面積の比は
4




(2)
直方体ABCD-EFGHの体積はa×b×c=abc

直方体IJKL-MNOPの体積はka×kb×kc
5




よって、体積の比は
6




以上の2問より、
相似比と面積、体積






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