平成２３年度公立高校入試で、移行措置のからみで多分出題されるであろう問題の一つは、相似な図形の面積比、体積比の問題です。
例題１：図１の立体は、母線の長さ２０cm、底面の半径６cmの円錐
を、母線OBの中点Aをふくみ、底面に平行な平面で切り、小さな円錐を取り除いたものである。また、点Hはもとの円錐の底面の中心である。
（１）切り口の面積を求めよ。
（２）この立体の体積は、もとの円錐の体積の何倍か。
（３）この立体の底面に垂直で、点Hをふくむ平面で切ると、その切り口はどんな形の四角形になるか。
（４）もとの円錐の側面となるおうぎ形の中心角を求めよ。
（５）図１の立体の側面の展開図をかくと、図２のようになる。この展開図の面積を求めよ。
（解答）
いつものように、まず「可視化」。
問題文を読み直さないでもいいように、必要な数値を図にかき込んでおきましょう。
（１）切り口の面積を求めよ。
点Aが母線OBの中点だから、中点連結定理より、取り除いた小さい円錐の底面の半径は３cmです。
よって、3×3×π＝9π
（相似形の面積比が2乗になることを使った別解）
点Aが母線OBの中点だから、取り除いた小さい円錐と、母線の長さが２０cmで底面の半径が６cmの円錐との相似比は１：２
相似比が１：２だから、切り口の面積：半径６cmの底面の面積＝１：４
半径６cmの底面の面積は6×6×π
よって切り口の面積をｘとすると、x:36π=1:4
4x=36π
x=9π
（２）この立体の体積は、もとの円錐の体積の何倍か。
三平方の定理を用いて円錐の高さを求めてから体積を求めることもできますが、ここでは相似形の体積比をもちいて解いてみましょう。
相似比が１：２だから、切り取った小さい円錐ともとの円錐の体積比はそれぞれを３乗して１：８
もとの円錐の体積の比が８で、切り取った円錐の体積の比が１だから、円錐台の体積の比は８−１＝７
よって、７÷８＝７/８倍。
（３）この立体の底面に垂直で、点Hをふくむ平面で切ると、その切り口はどんな形の四角形になるか。
左図でわかるように、上底の長さが６cm、下底の長さが１２cmの等脚台形です。
（４）もとの円錐の側面となるおうぎ形の中心角を求めよ。
側面のおうぎ形の中心角は、３６０度×底面の半径/母線となります（→こちらを参照）。
よって、３６０°×６/２０＝１０８°
（５）図１の立体の側面の展開図をかくと、図２のようになる。この展開図の面積を求めよ。
点Aが中点なので、半径２０cmで中心角１０８°のおうぎ形から半径１０cmで中心角１０８°のおうぎ形を切り取った形です。
よって、20×20×π×108/360-10×10×π×108/360
=20×20×π×3/10-10×10×π×3/10
=120π-30π
=90π
（相似形の面積比が2乗になることを使った別解）
半径２０cmで中心角１０８°のおうぎ形と、半径１０cmで中心角１０８°のおうぎ形の相似比は１：２
よって、２つのおうぎ形の面積はそれぞれの２乗の１：４
したがって図の斜線部の面積の比は4-1=3
また、半径１０cmで中心角１０８°のおうぎ形の面積は10×10×π×108/360=30π
以上より、斜線部の面積をxとすると、
30π:x=1:3
x=90π
例題２：図のような円錐の容器に深さ５cmまで水が入っている。水面
をさらに５cm高くするのに１４０立方cmの水を要した。最初にあった水の体積を求めよ。
（解答）
この問題は、相似な図形の面積比・体積比の考え方を使わないと解けない問題だと思われます。
最初に入っていた水は円錐形であり、高さは５cmです。
１４０立方cmの水を入れたあとの水全体の形も円錐で、高さは１０cmです。
高さ（長さ）の比は５：１０＝１：２です。
よって、体積の比はそれぞれを３乗した１：８です。
ということは、最初に入っていた水の量の割合が１で、水を入れたあとの水全体の量の割合は８、だからあとで入れた水の量は８−１＝７ということになります。
ゆえに、最初にあった水の体積をｘとすると、
140:x=7:1
7x=140
x=20
答えは２０立方cmです。
*****数学の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****
例題１：図１の立体は、母線の長さ２０cm、底面の半径６cmの円錐
を、母線OBの中点Aをふくみ、底面に平行な平面で切り、小さな円錐を取り除いたものである。また、点Hはもとの円錐の底面の中心である。（１）切り口の面積を求めよ。
（２）この立体の体積は、もとの円錐の体積の何倍か。
（３）この立体の底面に垂直で、点Hをふくむ平面で切ると、その切り口はどんな形の四角形になるか。
（４）もとの円錐の側面となるおうぎ形の中心角を求めよ。
（５）図１の立体の側面の展開図をかくと、図２のようになる。この展開図の面積を求めよ。
（解答）
いつものように、まず「可視化」。
問題文を読み直さないでもいいように、必要な数値を図にかき込んでおきましょう。
（１）切り口の面積を求めよ。
点Aが母線OBの中点だから、中点連結定理より、取り除いた小さい円錐の底面の半径は３cmです。
よって、3×3×π＝9π
（相似形の面積比が2乗になることを使った別解）
点Aが母線OBの中点だから、取り除いた小さい円錐と、母線の長さが２０cmで底面の半径が６cmの円錐との相似比は１：２
相似比が１：２だから、切り口の面積：半径６cmの底面の面積＝１：４
半径６cmの底面の面積は6×6×π
よって切り口の面積をｘとすると、x:36π=1:4
4x=36π
x=9π
（２）この立体の体積は、もとの円錐の体積の何倍か。
三平方の定理を用いて円錐の高さを求めてから体積を求めることもできますが、ここでは相似形の体積比をもちいて解いてみましょう。
相似比が１：２だから、切り取った小さい円錐ともとの円錐の体積比はそれぞれを３乗して１：８
もとの円錐の体積の比が８で、切り取った円錐の体積の比が１だから、円錐台の体積の比は８−１＝７
よって、７÷８＝７/８倍。
（３）この立体の底面に垂直で、点Hをふくむ平面で切ると、その切り口はどんな形の四角形になるか。
左図でわかるように、上底の長さが６cm、下底の長さが１２cmの等脚台形です。
（４）もとの円錐の側面となるおうぎ形の中心角を求めよ。
側面のおうぎ形の中心角は、３６０度×底面の半径/母線となります（→こちらを参照）。
よって、３６０°×６/２０＝１０８°
（５）図１の立体の側面の展開図をかくと、図２のようになる。この展開図の面積を求めよ。
点Aが中点なので、半径２０cmで中心角１０８°のおうぎ形から半径１０cmで中心角１０８°のおうぎ形を切り取った形です。
よって、20×20×π×108/360-10×10×π×108/360
=20×20×π×3/10-10×10×π×3/10
=120π-30π
=90π
（相似形の面積比が2乗になることを使った別解）
半径２０cmで中心角１０８°のおうぎ形と、半径１０cmで中心角１０８°のおうぎ形の相似比は１：２
よって、２つのおうぎ形の面積はそれぞれの２乗の１：４
したがって図の斜線部の面積の比は4-1=3
また、半径１０cmで中心角１０８°のおうぎ形の面積は10×10×π×108/360=30π
以上より、斜線部の面積をxとすると、
30π:x=1:3
x=90π
例題２：図のような円錐の容器に深さ５cmまで水が入っている。水面
をさらに５cm高くするのに１４０立方cmの水を要した。最初にあった水の体積を求めよ。（解答）
この問題は、相似な図形の面積比・体積比の考え方を使わないと解けない問題だと思われます。
最初に入っていた水は円錐形であり、高さは５cmです。
１４０立方cmの水を入れたあとの水全体の形も円錐で、高さは１０cmです。
高さ（長さ）の比は５：１０＝１：２です。
よって、体積の比はそれぞれを３乗した１：８です。
ということは、最初に入っていた水の量の割合が１で、水を入れたあとの水全体の量の割合は８、だからあとで入れた水の量は８−１＝７ということになります。
ゆえに、最初にあった水の体積をｘとすると、
140:x=7:1
7x=140
x=20
答えは２０立方cmです。
*****数学の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****
