空間図形と相似、面積比、体積比の応用発展問題です。

例題1:正四面体ABCDの辺AD、辺BD、辺CDの中点をそれぞれ点E、相似な立体発展問題点F、点Gとする。四角錐E-BCGFの体積は、もとの正四面体ABCDの体積の何倍か。













(解答)
まず、三角錐E-FGDが正四面体A-BCDのどれだけにあたるかを求めます。

点EがADの中点、点FがBDの中点、点GがCDの中点だから、ED=1/2AD、EF=1/2AB、EG=1/2AC、FD=1/2BD、FG=1/2BC、GD=1/2CDより、三角錐E-FGDは正四面体A-BCDと相似です。

相似な立体で、相似比が1:2のとき、体積比はそれぞれの3乗の1:8です。
だから、三角錐E-FGDの体積は正四面体ABCDの1/8です。…(1)

次に、三角錐E-BCDの体積を考えます。
2点Aから底面BCDにひいた垂線をAH、点Eから底面BCDにひいた垂線をEIとすると、AD:ED=1:2よりAH:EI=1:2です。

正四面体ABCDと三角錐E-BCDは、底面が共通で高さがAH:EI=2:1。
よって、四角錐E-BCDの体積は正四面体ABCDの体積の1/2です。…(2)

(1)(2)より、四角錐EBCGFの体積は、
三角錐E-BCD−三角錐E-FGD
=正四面体×1/2−正四面体×1/8
=正四面体×(1/2−1/8)
=正四面体×3/8

答えは3/8倍です。


例題2:図の四面体ABCDで、AE:EB=2:1、AF:FC=1:1、例題2AG:GD=1:2である。四面体AEFGと四面体ABCDの体積比を求めよ。












(解答)
例題2の2まず、四面体AEFGの底面を△AEFとみて、四面体ABCDの底面△ABCの何倍になっているかを見つけます。

高さが等しい三角形の面積の比は底辺の比と等しいから、
△AEC=△ABC×2/3

同様に、△AEF=△AEC×1/2

よって、△AEF=△ABC×2/3×1/2=△ABC×1/3…(1)




例題2の3
次に、四面体AEFGの高さが、四面体ABCDの高さの何倍になっているかを見つけます。

点Gから面AEFにひいた垂線をGH、点Dから面ABCにひいた垂線をDIとします。

AG:AD=1:3より、GH:DI=1:3

よって、四面体AEFGの高さは、四面体ABCDの高さの1/3です。…(2)

(1)とに(2)より、四面体AEFGと四面体ABCDを比べたとき、四面体AEFGの底面積が1/3で、高さは1/3であることがわかりました。

よって、四面体AEFGの体積は四面体ABCDの体積の(1/3)×(1/3)=1/9です。

体積の比をきいているので、答えは1:9です。




例題3:底面が正方形である四角錐O-ABCDがある。
例題3OP:PA=1:2、AQ:QB=1:1、AR:RD=1:2とする。四角錐O-ABCDの体積と三角錐P-CQRの体積の比を、もっとも簡単な整数の比で表せ。











(略解)
まず、三角錐の底面RQCが四角錐の底面ABCDのどれだけにあたるかを求めます。

△AQR=(底辺AQはABの1/2)×(高さはAR:ADと一致するから1/3)×(三角形の面積の公式の1/2)=底面ABCDの1/12

△QBC=(底辺QBはABの1/2)×(高さは△QBCの高さと同じで1)×(三角形の面積の公式の1/2)=底面ABCDの1/4

△DRC=(底辺DRはADの2/3)×(高さは△DRCと同じで1)×(三角形の面積の公式の1/2)=底面ABCDの1/3

よって、三角錐の底面RQCの面積は、四角錐ABCDの底面の正方形ABCD−△AQR−△QBC−△DRCだから、1−1/12−1/4−1/3=4/12=1/3…(1)

次に三角錐の高さが四角錐の高さのどれだけにあたるかを求めます。

高さの比はAP:AOの比と一致するから2・3。
よって、三角錐の高さは四角錐の高さの2/3…(2)

(1)、(2)より、底面積が1/3で高さが2/3だから、体積は(1/3)×(2/3)=2/9

以上より、四角錐O-ABCDの体積と三角錐P-CQRの体積の比は9:2です。




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