大阪府公立高校入試前期試験、文理学科の問題はそのうちの2題が難しい問題でした。

この稿では難問2題のうちの一つ、平面図形の問題を取り上げます。

23年度文理学科2番:図1、図2において、円Oは、点Oを中心と図1し線分ABを直径とする円であり、AB=6cmである。Cは、円Oの周上にあってA、Bと異なる点である。OとC、BとCとをそれぞれ結ぶ。△COBの内角∠COBの大きさは、0°より大きく、60°より小さい。Dは、Aを通り線分OCに平行な直線と円Oとの交点のうちAと異なる点である。OとD、CとDとをそれぞれ結ぶ。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。
(1)図1において、△COB≡△CODであることを証明しなさい。

(2)図2において、Eは、Bを通り線分CDに平行な直線と円Oとの図2交点のうちBと異なる点である。Fは線分BEと線分OCとの交点であり、Gは線分BEと線分ODとの交点であり、Hは線分BEと線分ADとの交点である。
[1]HD=xcmとするとき、線分AHの長さをxを用いて表わしなさい。求め方も書くこと。
[2]HG=2GFであるときの線分EHの長さを求めなさい。






(求め方)
(1)図1において、△COB≡△CODであることを証明しなさい。
まず、問題に書いてあったこと、気づいたこと、必要なことを図にかきこんでおきます。
図1の2私なら、AB=6cmよりOA=OB=3を、半径OA=ODより二等辺三角形OADの底角になるので等しい角と、OC//ADより底角と等しい大きさの同位角と錯角に印を、かきこみます。


(解答)
△COBと△CODにおいて
円Oの半径だから、OB=OD・・・(1)
共通にふくまれるから、OC=OC・・・(2)
平行線の錯角だから、∠ODA=∠COD
平行線の同位角だから、∠OAD=∠COB
ところがOA=ODだから、∠ODA=∠OAD
よって、∠COD=∠COB・・・(3)
(1)(2)(3)より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△COB≡△COD


(2)図2において、Eは、Bを通り線分CDに平行な直線と円Oとの交点のうちBと異なる点である。Fは線分BEと線分OCとの交点であり、Gは線分BEと線分ODとの交点であり、Hは線分BEと線分ADとの交点である。
[1]HD=xcmとするとき、線分AHの長さをxを用いて表わしなさい。図2の2求め方も書くこと。


まず、HDにxを記入します。

次に、あらたに加わった仮定CD//BEから同位角の∠OCD=∠OFG、∠ODC=∠OGFであり、半径OC=ODより∠OCD=∠ODCですから、△OHGと△OFGが二等辺三角形であることにも気づいておきます。
だから、DG=xです。

半径OD=3cmですから、OG=3-xです(大阪府の問題では、このかき込みが重要です)。

次に考えないといけないのは、何を手がかりにAHを求めるか、です。
中学生が使えるのは相似か三平方の定理ですから、いずれにしてもAHをふくむ三角形で考えようと発想しないといけません。

そうすると、図の色をつけた部分で△OBF∽△ABHが使えることに気づきます。

(解答)
∠ODC=∠OCD、CD//BEより∠ODC=∠DGH、∠OCD=∠CFB=∠DHG。
よって、△DHGは二等辺三角形であり、DH=DG=x
ゆえに、OG=3-x

同様に△OFGも二等辺三角形だから、OF=3-x

次に、△OBF∽△ABHであり、その相似比はBO:BA=3:6=1:2
よって、OF:AH=1:2

ゆえに、3-x:AH=1:2
AH=2(3-x)
AH=6-2x


[2]HG=2GFであるときの線分EHの長さを求めなさい。
この問題が難問でした(この問題でてこずって、最後の立体図形の問題を解く時間がなくなった受験生が多かったのではないでしょうか)。

まず、図に次のようにかき込みます。
図2の3
△DHG∽△OFGであり、HG=2GFだから、DG:GO=2:1、OD=3cmなので、DG=2cm、GO=1cmです。

[1]より、AH=2cmとなります。

EH=xも記入しておきます。
ところが、元の図のままだと求めたいEHが外に突き出した形となり、それでは長さは求められません。

そこで、ABが直径であったことから、AとEをむすび、直径の円周角である∠AEB=90°をかき込んでおきます。

この段階で、相似か三平方の定理かを使って解きたいのですが、解けません。
もう一つ、どこかの長さが求められないと式を立てられないのです。

図2の4
△ODAが二等辺三角形であること、DHが2でAHも2であることから、点HがADの中点であり、OとHを結ぶと∠OHA=∠OHD=90°であることはわかります。

△ODHで、三平方の定理が使えるのでOHの長さは√5です。

あともう1本、補助線が必要です。




図2の5
左の補助線DIをひくことで、私はやっと解けました。











△HOFで、三平方の定理を使いました。

図2の6















(別解)
昨日の授業で、N君は次のようにして解きました。

(この解法のほうが、数学の正しい解き方(1)直径の円周角90°を見つけて解く、(2)[1]で解いた結果を使って[2]を解く、に則っているので、よい解き方です。)

図2の7
BとDを結ぶ。

∠ADB=90°より、
△ABDは直角三角形で、AB=6、AD=4
よって三平方の定理より
BD=2√5

ゆえに、直角三角形BDHで、三平方の定理より、BH=2√6

△AEH∽△BDHより、
x:2=2:2√6
x=2/√6
x=√6/3








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