平成23年度の大阪府公立高校入試前期試験、文理学科の難問2題のうち、空間図形(立体図形)の問題を取り上げます。

23年度文理学科3番:図1、図2において、立体AEFB-DHGCは六つの平面で囲まれてできた立体である。四角形AEFBはAE=3cm、AB=5cmの長方形であり、四角形DHGCはDH=4cm、DC=9cmの長方形であって、平面AEFBと平面DHGCとは平行である。四角形ABCDはAB//DC、AD=BCの台形であり、四角形EFGHはEF//HG、EH=FGの台形である。四角形AEHDは、AE//DH、∠AEH=∠EHD=90°の台形である。四角形BFGCはBF//CGの台形であって、台形BFGC≡台形AEHDである。FG=xcmとする。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。


図1(1)図1において、EとC、FとDをそれぞれ結ぶ。このとき、EF//DCであり、線分ECと線分FDは交わる。Iは、線分ECと線分FDとの交点である。Jは台形EFGHの対角線の交点である。IとJとを結ぶ。このとき、IJ//CG、IJ//DHである。

[1]台形AEHDの面積をxを用いて表わしなさい。

[2]線分IJの長さを求めなさい。求め方も書くこと。必要に応じて解答欄の図を用いもよい。


[3]線分ECの長さが11cmであるときのxの値を求めなさい。


図2(2)図2は、x=16であるときの状態を示している。
図2において、Kは辺EH上にあって、E、Hと異なる点である。Lは辺FG上にあって、LG=KHとなる点である。このとき、4点K、L、C、Dは同じ平面上にあり、4点K、L、C、Dを結んでできる四角形KLCDはKL//DC、KD=LCの台形である。LG=ycmとし、0<y<16とする。立体DC-KLGHの体積をyを用いて表わしなさい。






(求め方)
[1]台形AEHDの面積をxを用いて表わしなさい。

まず、必要な事項を図にかき込みます。
図1の2
(3+4)×x×1/2=7/2x













[2]線分IJの長さを求めなさい。求め方も書くこと。必要に応じて解図1の3答欄の図を用いもよい。

△JEF∽△JGHであり、EF:GH=5:9ですから、FJ:JH=5:9です。

次に、△IFJ∽△DFHであることに着目します。
IJ:DH=FJ:FHだから
IJ:4=5:14
14IJ=20
IJ=20/14
IJ=10/7






[3]線分ECの長さが11cmであるときのxの値を求めなさい。
図1の4
EC=11cmをヒントに、△CEGが直角三角形であることに気づき、まず、三平方の定理をもちいてEGの長さを求めます。

式1






EFを延長し、Gから直線EFに垂線をひき、交点をMとします。
EF=5、HG=9より、FM=(9-5)÷2=2です。

△GEMも、△GFMも直角三角形であることから、三平方の定理を使うとGMの長さを2通りに表わせることに気づいて、方程式をたてます。

式2











式3








最後の問題、次の(2)が難問です。

図2(2)図2は、x=16であるときの状態を示している。
図 2において、Kは辺EH上にあって、E、Hと異なる点である。Lは辺FG上にあって、LG=KHとなる点である。このとき、4点K、L、C、Dは同じ平面 上にあり、4点K、L、C、Dを結んでできる四角形KLCDはKL//DC、KD=LCの台形である。LG=ycmとし、0<y<16とす る。立体DC-KLGHの体積をyを用いて表わしなさい。






図2の2
左図のように、EFの延長線上に点G、点Hから垂線をひき、交点をM、Nとします。

そして、KLを延長した直線とGM、HNとの交点をO、Pとします。

立体DC-KLGHの体積は、三角柱DPH-COGの体積から、2つの三角錐C-LOGとD-PKHをひいたものだと考えます。

そのために求めないといけないのは、LOの長さとGOの長さです。

まず、△GLO∽△GFMより、LO:FM=GL:GF
式4





LO=y/8です。

次に、△GLOが直角三角形であることから、三平方の定理を使ってGOの長さを求めます。
式5









OG=3√7y/8です。


これでやっと解くことができます。

立体DC-KLGHの体積=三角柱DPH-COGの体積-(三角錐C-LOG+三角錐D-PKH)
式6




27√7y/4-√7y^2/16が答えです。





*****数学の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****