平成23年度大阪府公立高校入試、文理学科数学の問題のうち、関数を取り上げます。

解く前に式と座標をしっかりと図に記入し、その数値をもちいて解くことができれば、そんなに難しい問題ではありません。


23年度文理学科1番(6):図において、mはy=1/4x^2のグラ式1フをグラフ表わす。A、Bはx軸上の点であり、Aのx座標は-2である。Bのx座標をa(aは正の整数)とする。C、Dはm上の点であり、Cのx座標はAのx座標と等しく、Dのx座標はBのx座標と等しい。Eはy軸上の点であり、そのy座標は-1である。Fは、直線CE上の点であり、そのx座標はBのx座標と等しい。CとF、FとD、DとCとをそれぞれ結ぶ。線分ABの長さをscm、線分DFの長さをtcmとする。ただし、座標軸の1目盛りの長さは1cmであるとする。

[1]t=1/4s^2であることを証明しなさい。
式2

[2]直線CBが△CFDを面積の等しい二つの図形に分けるときのaの値を求めなさい。



(解き方)
問題を読んで、グラフにしっかりと式と座標を記入していきます。
関数の応用問題とは、「座標を使って方程式をつくる」問題です。
問題を考えるとき、座標を使って考える癖をつけておかないといけません。

x座標かy座標がわかっているとき、その点を通っているグラフの式に代入してもう一方の座標も記入しておきます。
こつ
グラフ2


cの座標を記入したあと、c(-2,0)、E(0,-1)の2点を通る直線の式を求めておきます。
(右に2進んで下に2進むから傾きが-1、切片が-1なのでy=-x-1と求めるほうが簡便ですが、y=ax+bの式に2点の座標を代入して連立方程式を立てて求めてもよい。)

こうして、問題を解くのに必要なすべての座標を記入したあと、それを使って問題を解いていきます。

[1]t=1/4s^2であることを証明しなさい。
式2

A(-2,)、B(a,0)より、線分ABの長さはa+2です。

(特に注意しないといけないのは、座標が−のときです。点A(-2,0)と原点O(0,0)との距離は-2ではなくて2だということです。座標のとき、長さを表わすには+−の符号しておかないといけません。)

s=a+2です。

次に、D(a,1/4a^2)、F(a,-a-1)より、線分DFの長さt=1/4a^2+a+1です。

(F(a,-a-1)のとき、BFの長さは、符号を逆にして-(-a-1)にしておかないといけません。)

式3






最後に、t=1/4s^2になるように式を変形します。

式4














[2]直線CBが△CFDを面積の等しい二つの図形に分けるときのaの値を求めなさい。

直線CBが△CFDを面積の等しい二つの図形に分けるとき」とは、点Bが、線分DFの中点になるときです。
△CBDと△CFDでBD=BFのとき、底辺の長さが等しく高さは共通なので△CBD=△CFDとなり、「直線CBが△CFDを面積の等しい二つの図形に分ける」ことになります。

BD=1/4a^2であり、BF=-(-a-1)です。
BD=BFになればよいので、1/4a^2=-(-a-1)
この2次方程式を解きます。

式5





















答えは、a=2+2√2です。



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