体積の問題の中に、水の入った容器にものを入れたときどうなるかという問題があります。
例題１：内のりが１辺8cmの立方体の容器に水が3cmの深さまで入っています。この中に、たて4cm、横4cm、高さが6cmの正四角柱を図のようにしずめます。
正四角柱は水面の上に何cm出ますか。
（考え方・解き方）
算数の問題を解くときのコツの一つに、「同じものを見つける」があります。
この問題では、四角柱を入れる前と入れた後で変わっていないものがあります。
それは、入っている水の量です。
水の量は変わっていない、同じであることを使ってこの問題を解くことができます。
まず、問題の図に数値を書き込みます。
初めに、最初に入っていた水の量を求めます。
8×8×3=192です。
次に、容器を入れたあとの水の量を求めます。
四角柱を入れた後の水の高さ（＝四角柱の水に沈んだ部分の高さ）を□とします。
左の図に示した部分が水です。
たて8cm、横8cm、高さ□cmの直方体の体積から、たて4cm、横4cm、高さ□cmの直方体の体積をひいてもよいのですが、体積の公式「底面積×高さ」をそのまま利用することを考えます。
水の体積を、図の青色の斜線で示した部分が底面積で、高さが□cmの物体の体積だと考えます。
そうすると、四角柱を沈めた後の水の体積を、
(8×8-4×4)×□
の式で表わすことができます。
最初に求めた水の体積8×8×3=192と、沈めた後の水の体積(8×8-4×4)×□が同じはずですから、
(8×8-4×4)×□=192
48×□=192
□=192÷48
□=4
四角柱の、水に沈んだ部分の高さが4cmですから、正四角柱の水面より上に出た部分の高さは6-4=2cmです。
例題２：立方体の容器に水が入っており、たて8cm、横8cm、高さが
12cmの直方体が沈められています（図１）。直方体から水面までの高さは1cmです。
直方体の入れ方を変えると（図２）、水の深さが8cmになりました。
（１）立方体の１辺の長さを求めなさい。
（２）容器に入っている水の量を求めなさい。
（考え方・解き方）
まず、問題からわかる数値で図に書いてないものを図に記入しておきます。
そして、やはり、算数の問題を解くときのコツである「同じものを見つける」と、体積の公式「底面積×高さ」の利用で解いていきます。
（１）立方体の１辺の長さを求めなさい。
水の量は、図１でも図２でも同じです。
図１で、水の量を表す式を書いてみましょう。
立方体の容器の１辺の長さがわからないので、それを□とします。
図１で、水の量を表す式は、
□×□×(8+1)-8×8×12…（１）
となります。
次に、図２で、水の量を表す式を作ってみます。
水の部分に体積の公式「底面積×高さ」をあてはめると、底面積は□×□‐8×8ですから、
(□×□‐8×8)×8…（２）
となります。
この２つの式が、同じ水の量を表しているので、
□×□×(8+1)-8×8×12=(□×□‐8×8)×8
計算できるところを計算すると、
□×□×9-768=(□×□‐64)×8
式の右側で分配法則を使うと、
□×□×9-768=□×□×8‐64×8
□×□×9-768=□×□×8‐512
この式の左側と右側とを比較すると、
□×□×9と□×□×8とで□×□×1ちがって、数字は768と512とで256ちがっていることがわかります。
つまり、□×□が256です。
同じ数をかけて256になる数は何でしょうか？
10×10=100、20×20=400ですから、11以上20以下の数字です。
15×15=225を知っている人は、16×16から調べたらいいのです。
16×16=256になるので、立方体の１辺は16cmだとわかります。
（２）容器に入っている水の量を求めなさい。
図２で、「体積＝底面積×高さ」を利用します。
(16×16-8×8)×8=1536
答えは、1536立方cmです。
例題３：底面積が400平方cmの円柱形の水そうに10cmの高さまで水が
入っています。この中に底面積が25平方cmの四角柱を立てていきます。
（１）水そうに四角柱を１個立てたところ、水位が四角柱の高さの2/3になりました。この四角柱の高さは何cmですか。
（２）水位が四角柱の高さと同じになるまで立てていきました。四角柱を何個立てましたか。
（考え方・解き方）
やはり、算数の問題を解くときのコツである「同じものを見つける」と、体積の公式「底面積×高さ」の利用で解いていきます。
（１）水そうに四角柱を１個立てたところ、水位が四角柱の高さの2/3になりました。この四角柱の高さは何cmですか。
四角柱を入れる前の水の量を表す式は、
400×10=4000
です。
四角柱を1個水に入れた後の水の量を表す式は、四角柱の高さを□cmとすると、
(400-25)×□×2/3
です。
この２つの式が同じ水の量を表しているので、
(400-25)×□×2/3=4000
375×□×2/3=4000
250×□=4000
□=4000÷250ですから、□=16
四角柱の高さは16cmです。
（２）水位が四角柱の高さと同じになるまで立てていきました。四角柱を何個立てましたか。
やはり、水の量は変わらないことを使って式を作ります。
立てた四角柱の個数を□とすると、底面積は400-25×□、そして四角柱の高さは16cmです。
(400-25×□)×16=4000
400-25×□=4000÷16
400-25×□=250
25×□=400-250
25×□=150
□=150÷25
□=6
答えは6個です。
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例題１：内のりが１辺8cmの立方体の容器に水が3cmの深さまで入っています。この中に、たて4cm、横4cm、高さが6cmの正四角柱を図のようにしずめます。
正四角柱は水面の上に何cm出ますか。
（考え方・解き方）
算数の問題を解くときのコツの一つに、「同じものを見つける」があります。
この問題では、四角柱を入れる前と入れた後で変わっていないものがあります。
それは、入っている水の量です。
水の量は変わっていない、同じであることを使ってこの問題を解くことができます。
まず、問題の図に数値を書き込みます。
初めに、最初に入っていた水の量を求めます。
8×8×3=192です。
次に、容器を入れたあとの水の量を求めます。
四角柱を入れた後の水の高さ（＝四角柱の水に沈んだ部分の高さ）を□とします。
左の図に示した部分が水です。
たて8cm、横8cm、高さ□cmの直方体の体積から、たて4cm、横4cm、高さ□cmの直方体の体積をひいてもよいのですが、体積の公式「底面積×高さ」をそのまま利用することを考えます。
水の体積を、図の青色の斜線で示した部分が底面積で、高さが□cmの物体の体積だと考えます。
そうすると、四角柱を沈めた後の水の体積を、
(8×8-4×4)×□
の式で表わすことができます。
最初に求めた水の体積8×8×3=192と、沈めた後の水の体積(8×8-4×4)×□が同じはずですから、
(8×8-4×4)×□=192
48×□=192
□=192÷48
□=4
四角柱の、水に沈んだ部分の高さが4cmですから、正四角柱の水面より上に出た部分の高さは6-4=2cmです。
例題２：立方体の容器に水が入っており、たて8cm、横8cm、高さが
12cmの直方体が沈められています（図１）。直方体から水面までの高さは1cmです。直方体の入れ方を変えると（図２）、水の深さが8cmになりました。
（１）立方体の１辺の長さを求めなさい。
（２）容器に入っている水の量を求めなさい。
（考え方・解き方）
まず、問題からわかる数値で図に書いてないものを図に記入しておきます。
そして、やはり、算数の問題を解くときのコツである「同じものを見つける」と、体積の公式「底面積×高さ」の利用で解いていきます。
（１）立方体の１辺の長さを求めなさい。
水の量は、図１でも図２でも同じです。
図１で、水の量を表す式を書いてみましょう。
立方体の容器の１辺の長さがわからないので、それを□とします。
図１で、水の量を表す式は、
□×□×(8+1)-8×8×12…（１）
となります。
次に、図２で、水の量を表す式を作ってみます。
水の部分に体積の公式「底面積×高さ」をあてはめると、底面積は□×□‐8×8ですから、
(□×□‐8×8)×8…（２）
となります。
この２つの式が、同じ水の量を表しているので、
□×□×(8+1)-8×8×12=(□×□‐8×8)×8
計算できるところを計算すると、
□×□×9-768=(□×□‐64)×8
式の右側で分配法則を使うと、
□×□×9-768=□×□×8‐64×8
□×□×9-768=□×□×8‐512
この式の左側と右側とを比較すると、
□×□×9と□×□×8とで□×□×1ちがって、数字は768と512とで256ちがっていることがわかります。
つまり、□×□が256です。
同じ数をかけて256になる数は何でしょうか？
10×10=100、20×20=400ですから、11以上20以下の数字です。
15×15=225を知っている人は、16×16から調べたらいいのです。
16×16=256になるので、立方体の１辺は16cmだとわかります。
（２）容器に入っている水の量を求めなさい。
図２で、「体積＝底面積×高さ」を利用します。
(16×16-8×8)×8=1536
答えは、1536立方cmです。
例題３：底面積が400平方cmの円柱形の水そうに10cmの高さまで水が
入っています。この中に底面積が25平方cmの四角柱を立てていきます。（１）水そうに四角柱を１個立てたところ、水位が四角柱の高さの2/3になりました。この四角柱の高さは何cmですか。
（２）水位が四角柱の高さと同じになるまで立てていきました。四角柱を何個立てましたか。
（考え方・解き方）
やはり、算数の問題を解くときのコツである「同じものを見つける」と、体積の公式「底面積×高さ」の利用で解いていきます。
（１）水そうに四角柱を１個立てたところ、水位が四角柱の高さの2/3になりました。この四角柱の高さは何cmですか。
四角柱を入れる前の水の量を表す式は、
400×10=4000
です。
四角柱を1個水に入れた後の水の量を表す式は、四角柱の高さを□cmとすると、
(400-25)×□×2/3
です。
この２つの式が同じ水の量を表しているので、
(400-25)×□×2/3=4000
375×□×2/3=4000
250×□=4000
□=4000÷250ですから、□=16
四角柱の高さは16cmです。
（２）水位が四角柱の高さと同じになるまで立てていきました。四角柱を何個立てましたか。
やはり、水の量は変わらないことを使って式を作ります。
立てた四角柱の個数を□とすると、底面積は400-25×□、そして四角柱の高さは16cmです。
(400-25×□)×16=4000
400-25×□=4000÷16
400-25×□=250
25×□=400-250
25×□=150
□=150÷25
□=6
答えは6個です。
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