円柱の側面積と、円柱に内接する球の表面積
円柱の側面積と、円柱に内接する球の表面積との間にはおもしろい関係が成り立っています。
底面の半径がｒcm、高さが２ｒcmの円柱に、半径ｒcmの球が内接しています。
球の表面積は、4πr^2です。
円柱の側面積はどうなるでしょうか。
円柱の側面の面積は、縦が２ｒcm、横が底面の円の周と等しいのでｒ×２×πの長方形の面積と等しくなります。
よって、円柱の側面積は2r×2πr=4πr^2です。
つまり、円柱の側面積と、その円柱の底面と側面に内接する球の表面積とは等しいということがわかります。
円柱と、円柱に内接する円錐と、円柱に内接する球の体積の関係
円柱と、円柱の底面と側面に内接する球と、円柱の上下の底面に内接する円錐の体積の間にもおもしろい関係が成り立っています。
円錐の体積は、底面積×高さ×１/３の公式より、r×r×π×2r×1/3=2/3πr^3です。
球の体積は、4/3πr^3です。
円柱の体積は、底面積×高さの公式より、r×r×π×2r=2πr^3です。
よって、円錐の体積：球の体積：円柱の体積の比は、
2/3πr^3：4/3πr^3：2πr^3
=2/3：4/3：2
=2：4：6
=1：2：3
円錐の体積：球の体積：円柱の体積＝１：２：３となっていることがわかります。
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円柱の側面積と、円柱に内接する球の表面積との間にはおもしろい関係が成り立っています。
底面の半径がｒcm、高さが２ｒcmの円柱に、半径ｒcmの球が内接しています。球の表面積は、4πr^2です。
円柱の側面積はどうなるでしょうか。
円柱の側面の面積は、縦が２ｒcm、横が底面の円の周と等しいのでｒ×２×πの長方形の面積と等しくなります。
よって、円柱の側面積は2r×2πr=4πr^2です。
つまり、円柱の側面積と、その円柱の底面と側面に内接する球の表面積とは等しいということがわかります。
円柱と、円柱に内接する円錐と、円柱に内接する球の体積の関係
円柱と、円柱の底面と側面に内接する球と、円柱の上下の底面に内接する円錐の体積の間にもおもしろい関係が成り立っています。
円錐の体積は、底面積×高さ×１/３の公式より、r×r×π×2r×1/3=2/3πr^3です。球の体積は、4/3πr^3です。
円柱の体積は、底面積×高さの公式より、r×r×π×2r=2πr^3です。
よって、円錐の体積：球の体積：円柱の体積の比は、
2/3πr^3：4/3πr^3：2πr^3
=2/3：4/3：2
=2：4：6
=1：2：3
円錐の体積：球の体積：円柱の体積＝１：２：３となっていることがわかります。
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