例年、規則性の問題が多い後期大問の3ですが、今年は、規則性ではなくて一次関数と方程式の応用の問題でした。

落ち着いて問題を読み、問題文に書いてあることを丁寧に図に記入して、その図を見ながらあせらずに考えればなんとか解けたはずの問題ですが、例年の問題とは少し傾向が違ったので、あわてた人が多かったかもしれません。


大問3:サチコさんは、長方形の紙を内側に三つに折るときのようすに興味をもち、図1のような模式図をかいて考えてみた。

紙を折る




23年大問3

図1において、線分ABの長さは300mmである。Pは、線分AB上にあってA、Bと異なる点である。線分APの長さは、100mm以下とする。Qは、線分PBの中点である。
図1に示したように、線分ABについて、まず、線分APをPを中心として時計回りに180°回転させ、このときAが移った点をA’とする。次に、線分QBをQを中心として反時計回りに180°回転させ、このときBが移った点をB'とする。B’はPと一致する。
次の問いに答えなさい。答えが根号をふくむ形になる場合は、その形のままでよい。





(1)まず、サチコさんは、図1において、線分APの長さはxmmとし、そのときの線分PQの長さをymmとして、xとyとの関係を表とグラフをかいて考えてみた。

[1]次の表は、サチコさんがかいた表の一部である。表中の(ア)、(イ)にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。
23年大問3の2




[2]20≦x≦80のときのxとyとの関係を表わすグラフを解答欄の図中にかきなさい。

(2)次に、サチコさんは、図1において、線分A'Qの長さをxmmとし、そのときの線分PQの長さをymmとして考えてみた。このとき、0<x<150として、yをxの式で表わしなさい。

(3)AB:PB=√2:1となるときの線分A'Qの長さを求めなさい。



(解くときのコツ)
・落ち着いて問題を読み、問題文に書いてあることを丁寧に図に記入する

大阪府公立高校の入試問題を解くときに最も大切なことは、問題文に出てきた数値をしっかりと図に記入して、そのかき込みを見ながら考えていくことです。


(1)の解き方

(1)まず、サチコさんは、図1において、線分APの長さはxmmとし、そのときの線分PQの長さをymmとして、xとyとの関係を表とグラフをかいて考えてみた。

[1]次の表は、サチコさんがかいた表の一部である。表中の(ア)、(イ)にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。
23年大問3の2




[2]20≦x≦80のときのxとyとの関係を表わすグラフを解答欄の図中にかきなさい。



最初に問題に書いてあったことと、「(1)まず、サチコさんは、図1において、線分APの長さはxmmとし、そのときの線分PQの長さをymmとして、xとyとの関係を表とグラフをかいて考えてみた。」の部分を図に記入すると次のようになります。

図1
この図を見て、あせらないで考えることです。
PB=300-xであり、PQ=QBなのでy=(300-x)÷2であることがわかれば、問題を楽に解くことができます。




(解答)

[1]次の表は、サチコさんがかいた表の一部である。表中の(ア)、(イ)にあてはまる数をそれぞれ書きなさい。

23年大問3の2




図1
解法1:
(300-30)÷2=130…(ア)

300-122×2=56…(イ)



解法2:
y=(300-x)×1/2
=150-1/2x
と、先に式を見つけておきます。

x=40をこの式に代入して、y=150-40×1/2=150-20=130…(ア)

y=122を代入して、122=150-1/2x
1/2x=150-122
1/2x=28
x=56…(イ)


[2]20≦x≦80のときのxとyとの関係を表わすグラフを解答欄の図中にかきなさい。

解法1:
x=20のとき、(300-20)÷2=140
x=80のとき、(300-80)÷2=110

以上より、点(20,140)、点(80,110)を見つけて、グラフに記入し、2点を結びます。
グラフ1
















解法2:
x=20のときy=140、x=80のときy=110を求めないといけないので解法1とほぼ同じことになりますが、式y=-1/2x+150のグラフを、20≦x≦80の範囲にかきます。


(2)の解き方

(2)次に、サチコさんは、図1において、線分A'Qの長さをxmmとし、そのときの線分PQの長さをymmとして考えてみた。このとき、0<x<150として、yをxの式で表わしなさい。


問題に合わせて図1の2番目の図に数値を記入しておきます。
図2







この図を見て、xとyの間に成り立つ関係を式にしていきます。


(解答)

PQ=QBより、AP=300-2y

そして、PQ=PA'+A'Qが成り立ち、PQ=y、A'P=AP=300-2yだから、
y=300-2y+x
3y=x+300
y=1/3x+100



(3)の解き方

(3)AB:PB=√2:1となるときの線分A'Qの長さを求めなさい。

また、問いに合わせて、図1の一番下の図に数値を記入してから考えます。
図3








(解答)

AB:PB=√2:1より、300:PB=√2:1
√2×PB=300
PB=300/√2
PB=150√2

よって、AP=300-150√2
だから、PA'=AP=300-150√2

また、PQ=PB×1/2=150√2×1/2=75√2

以上より、A'Q=PQ-PA'だから、
A'Q=75√2-(300-150√2)
A'Q=75√2-300+150√2)
A'Q=225√2-300




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