正三角形や正六角形には知っておかないといけない性質がいくつかあって、いろいろおもしろい問題が出題されますが、その一つに、同じ形の図形に分割して解く問題があります。
例題１：周の長さが等しい正三角形と正六角形の面積の比を求めなさい。
考え方・解き方
このような問題を解くとき、小学生にとって最もわかりやすい解き方は、図形を分割して、同じもの何個でそれぞれの図形ができているかを見つける方法です。
まず、「周の長さが等しい」ことから、正六角形の１辺の長さを１とすると、正三角形の１辺の長さが２になることに気づいてください。
正六角形の周の長さは1×6=6、正三角形の周の長さは2×3=6となって、周が等しくなります。
次に、正六角形が正三角形の集まりであることに着目します。
正三角形の一つの角は60度です。
正六角形の一つの角は120度であり、左の図のように分割すると一つの角が60度の正三角形６個に分割できます。
つまり、正六角形は、正三角形が集まったものだと考えることができます。
正六角形が、１辺が１の正三角形の集まりであることがわかったので、次に１辺が２の正三角形の中にも、同じように、１辺が１の正三角形を作ってみます。
左の図のように、１辺が１の正三角形が、正三角形の中には４個できることがわかります。
正三角形の中には１辺が１の正三角形が４個、正六角形の中には１辺の長さが１の正三角形が６個できました。
だから、面積の比は4:6=2:3。
答えは2:3です。
例題２：左の図の、正六角形の内部にある斜線部の面積は、正六角形の面積の何倍になりますか。
考え方・解き方
正六角形は、正三角形６個に分割できるだけでなく、次の図のように分割することもできます。
この分割の仕方だと、同じ形、同じ大きさの、二等辺三角形６個に分割できます。
言い換えると、１個の二等辺三角形の面積は、正六角形の1/6です。
そうすると、斜線部の面積は、正六角形の右半分の1/2から、二等辺三角形１個分の1/6をひいたものですから、1/2-1/6=3/6-1/6=2/6=1/3だということになります。
答えは1/3です。
最後に、ちょっと難しい問題にチャレンジしてみましょう。
例題３：左の図の、正六角形の内部にある斜線部の面積の和は、外側の正
六角形の面積の何倍ですか。
考え方・解き方
この問題だと、もう一つ、『底辺が等しいとき、面積は等しい』を使います。
左図の三角形、アとイで、底辺は等しい長さです。
また、どちらの三角形の高さも、赤線で示した部分が高さであり、共通です。
三角形の面積を求める式、「底辺×高さ÷２」のうち、底辺が等しく、高さが共通だから、結局、２つの三角形アとイの面積は等しくなります。
まず、問題の斜線部のうち、大きいほうの三角形の大きさを考えます。
左図の、赤線で囲んだ二等辺三角形の大きさは外側の正三角形の大きさの1/6でした。
そして、「底辺が等しいと面積も等しい」ので、赤の斜線部の面積は、その二等辺三角形の面積の1/3になります。
つまり、1/6の1/3、つまり、正六角形の1/18です。・・・（１）
次に、中にある小さい正三角形の大きさを考えます。
左図の赤の斜線部の面積は、青の斜線部の面積と同じです（「底辺が等しいと面積も等しい」ので）。
つまり、赤の斜線部は、外側の正六角形の1/18です。
さらに、左図でわかるように、小さい正三角形の面積は、二等辺三角形の面積の1/3
になります。
1/18の1/3だから、外側の正六角形の1/54です。・・・（２）
（１）より、中の斜線部のうち、大きい正三角形１個の面積は外側の正六角形の1/18。
その正三角形が６個あるから、1/18×6=1/3・・・（３）
（２）より、中の斜線部のうち、小さい正三角形１個の面積は外側の正六角形の1/54。
その正三角形が６個あるから、1/54×6=1/9・・・（４）
（３）（４）より、1/3+1/9=3/9+1/9=4/9。
答えは、4/9です。
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例題１：周の長さが等しい正三角形と正六角形の面積の比を求めなさい。
考え方・解き方
このような問題を解くとき、小学生にとって最もわかりやすい解き方は、図形を分割して、同じもの何個でそれぞれの図形ができているかを見つける方法です。
まず、「周の長さが等しい」ことから、正六角形の１辺の長さを１とすると、正三角形の１辺の長さが２になることに気づいてください。
正六角形の周の長さは1×6=6、正三角形の周の長さは2×3=6となって、周が等しくなります。
次に、正六角形が正三角形の集まりであることに着目します。正三角形の一つの角は60度です。
正六角形の一つの角は120度であり、左の図のように分割すると一つの角が60度の正三角形６個に分割できます。
つまり、正六角形は、正三角形が集まったものだと考えることができます。
正六角形が、１辺が１の正三角形の集まりであることがわかったので、次に１辺が２の正三角形の中にも、同じように、１辺が１の正三角形を作ってみます。
左の図のように、１辺が１の正三角形が、正三角形の中には４個できることがわかります。正三角形の中には１辺が１の正三角形が４個、正六角形の中には１辺の長さが１の正三角形が６個できました。
だから、面積の比は4:6=2:3。
答えは2:3です。
例題２：左の図の、正六角形の内部にある斜線部の面積は、正六角形の面積の何倍になりますか。
考え方・解き方
正六角形は、正三角形６個に分割できるだけでなく、次の図のように分割することもできます。
この分割の仕方だと、同じ形、同じ大きさの、二等辺三角形６個に分割できます。
言い換えると、１個の二等辺三角形の面積は、正六角形の1/6です。
そうすると、斜線部の面積は、正六角形の右半分の1/2から、二等辺三角形１個分の1/6をひいたものですから、1/2-1/6=3/6-1/6=2/6=1/3だということになります。答えは1/3です。
最後に、ちょっと難しい問題にチャレンジしてみましょう。
例題３：左の図の、正六角形の内部にある斜線部の面積の和は、外側の正
六角形の面積の何倍ですか。考え方・解き方
この問題だと、もう一つ、『底辺が等しいとき、面積は等しい』を使います。
左図の三角形、アとイで、底辺は等しい長さです。また、どちらの三角形の高さも、赤線で示した部分が高さであり、共通です。
三角形の面積を求める式、「底辺×高さ÷２」のうち、底辺が等しく、高さが共通だから、結局、２つの三角形アとイの面積は等しくなります。
まず、問題の斜線部のうち、大きいほうの三角形の大きさを考えます。
左図の、赤線で囲んだ二等辺三角形の大きさは外側の正三角形の大きさの1/6でした。
そして、「底辺が等しいと面積も等しい」ので、赤の斜線部の面積は、その二等辺三角形の面積の1/3になります。
つまり、1/6の1/3、つまり、正六角形の1/18です。・・・（１）
次に、中にある小さい正三角形の大きさを考えます。
左図の赤の斜線部の面積は、青の斜線部の面積と同じです（「底辺が等しいと面積も等しい」ので）。
つまり、赤の斜線部は、外側の正六角形の1/18です。
さらに、左図でわかるように、小さい正三角形の面積は、二等辺三角形の面積の1/3
になります。1/18の1/3だから、外側の正六角形の1/54です。・・・（２）
（１）より、
中の斜線部のうち、大きい正三角形１個の面積は外側の正六角形の1/18。その正三角形が６個あるから、1/18×6=1/3・・・（３）
（２）より、中の斜線部のうち、小さい正三角形１個の面積は外側の正六角形の1/54。
その正三角形が６個あるから、1/54×6=1/9・・・（４）
（３）（４）より、1/3+1/9=3/9+1/9=4/9。
答えは、4/9です。
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√3は、△に
√2は、□に 辺（弦）に現れる。
〇と△□は、数の言葉ヒフミヨ（1234）で繋がっている。
√2×√3＝√6 は、
連続無限と離散無限を繋いでいる。
√6〇÷□ヒフミヨに
ヒフミヨはもろはのつるぎ絵本あり