平成23年度後期B問題の大問1、最後の問題は、例年通り、関数の問題でした。
そして、いつもと同じ解法で解ける問題でした。


1(6):図において、mは関数y=1/2x^2のグラフを表わす。A,B,Cはm上の点である。Aのx座標は負で1(6)あり、Bのx座標は正であり、Cのx座標は、Bのx座標より大きい。Bのy座標は、Aのy座標と等しい。Dはy軸上の点であって、Dのy座標はCのy座標と等しい。Eはy軸上の点であって、Eのy座標はAのy座標と等しい。4点A,B,C,Dを結んでできる四角形ABCDは平行四辺形である。AB=DEであるときのBのx座標を求めなさい。求め方も書くこと。ただし、x軸の1目もりの長さとy軸の1目もりの長さとは等しいものとする。




(解き方と解答)
1、まず、解く前の準備として、問いの文から読み取れる『座標』と『』をグラフにかき込みます。

この問いの場合、最初にかき込めるのはmの式だけです。

2、次に、問いで「Bのx座標を求めなさい」とあることから、点Bの座標をかき込みます。(ア)求めるx座標tとする、(イ)点Bを通っているを見つけて、代入して、点Bのy座標tの式で表わす、の2つのことができれば、必ず解けます。
関数重要1(6)の2点Bの座標は、左の図のように(t、1/2t^2)となります。

このとき、放物線の性質である「y軸に関して左右対称である」を利用して、点Aの座標もかき込んでおきます(こうした、自分自身に対する心配りが後で自分を助けてくれます)。



3、最後に、問いの文章から読み取れることを使って、残りの点の座標をかき込み、それぞれの座標の関係から方程式をたてると、関数の問題は絶対に解けます。

まだ座標を記入していないのは、点Cと点Dです。


まず、点Cから座標を記入していきましょう。

四角形ABCDは平行四辺形なので、AB=DCです。
ABの長さを見つければ、点Cの座標を記入できます。

EBの長さはtです。

注意すべきはAEの長さです。
例えば、点Aの座標が(-2,0)であれば、AEの長さは2です。座標が−のとき、長さは+になります。
つまり、座標マイナスのとき、長さを求めるときは符号を逆にしないといけません。
点Aのx座標は-tでした。だから、符号を逆にして、AEの長さはtです。

以上より、ABの長さは、AB=AE+EBより、t+t=2tです。

y軸上の点Dのx座標は0であり、DC=2tですから、点Cのx座標は2tだということになります。

点Cのx座標がわかったので、関数重要左のやり方で、点Cのy座標をtを使って表わします。

1(6)の3




1(6)の4

これで、点Cの座標が記入できました。


次に記入する座標は、点Dの座標です。

今度は「AB=DEである」を使います。
点Eのy座標は点A、点Bのy座標と同じであり、AB=2tですから、点Dのy座標は
1(6)の5




これで、すべての座標を記入できました。
1(6)の6
あとは、等しいものを見つけて方程式をたてるだけです。

Dのy座標はCのy座標と等しい」ことから、
1(6)の7

















関数の応用問題を解くときの鉄則

1、解く前の準備として、『座標』と『』をかき込む。
2、(ア)求めるx座標tとする、
(イ)を見つけて、代入して、y座標tの式で表わす。
3、座標の関係から方程式をたてる
(4、座標マイナスのとき、長さ符号を逆にする。)


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