例えば12と18の最大公約数と最小公倍数を求める方法として、連除法はしご算)と呼ばれる方法があります(単に素因数分解ということもあります)。

2)12,18
3) 6, 9
//2,/3

12と18を一番小さい素数の2でわり(普通のわり算と違って横棒を数字の下に書きます)、わった答えの6と9を、12と18の下に書きます。

さらに、6と9を素数の3でわり、わり算の答え23を、6と9の下に書きます。

2と3をわれる数は1以外にないので(1は素数ではありませんし、残った2と3が素数なので)これで終わりです。

このとき、左の列の23をかけた2×3=6が12と18の最大公約数です。

また、左の列の23と、下に残った23をかけた、(2×3)×(2×3)=6×6=36が、12と18の最小公倍数です。

(素数についてはこちらを参照)


なぜ、この方法で最大公約数と最小公倍数が求められるのか?

12と18の両方が2×3の6でわり切れて、12=6×2、18=6×3とわかったので、12と18のどちらもわれる6が最大公約数です(6以上の大きい公約数は考えられません)。

また、最大公約数の6に、最後に残った23をかけた6×2×3は、12(=6×2)と18(=6×3)の両方の倍数になっているので最小公倍数です(6×2×3より小さい公倍数は考えられません)。


また、例えば24と36だと、

2)24,36
2)12,18
3) 6, 9
//2,/3

となり、最大公約数は2×2×3=12であり、最小公倍数は(2×2×3)×(2×3)=12×6=72です。


以上のような、2つ以上の数を、どちらもわれる数でわっていく方法のことを、
2つ以上の数(連)を、わり算(除法)するので、連除法
また、はしごのように横棒がつながっているので、はしご算
と呼びます。
(素数の約数でわって分解するので、素因数分解ともいいます。)


最大公約数と最小公倍数で重要なこと

24と36の場合、どちらの数も2×2×3=12でわることができました。
24=12×2、36=12×3でした。

共通部分の12が最大公約数で、共通部分に23をかけた12×2×3が最小公倍数です。

つまり、
A=a×b
B=a×c
のとき、
最大公約数はa
最小公倍数はa×b×c
です。

このとき、bとcの両方をわることができる1以外の数はもうありません。

1以外の公約数がないこと(1以外の、同じ数ではわれないこと)を、bとcは「いに素(たがいにそ)である」といいます。


よく出題される応用問題

例題:ある数と、30の、最大公約数が6で、最小公倍数が90でした。ある数はいくらですか。

(解き方)
2つの数がa×ba×cのとき、最大公約数はa、最小公倍数はa×b×cです。

この問題だと、最大公約数が6ということから、ある数と30の共通部分は6だということがわかります。

ある数=6×
30=6×5

最小公倍数の90は、6××5となるはずです。

最小公倍数の90=6×□×5
90を6×5=30でわると90÷30=3だから、□=3だとわかります。

以上より、ある数は、6×3=18です。



3個以上の数の素因数分解(連除法・はしご算)については、こちらを参照してください。



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