前の、『素因数分解(連除法・はしご算)と最大公約数・最小公倍数』の続きです。


3個以上の数の連除法・はしご算・素因数分解

数字が3個以上のときは次のように考えます。

12、18、24の最大公約数と最小公倍数を求めてみましょう。

2)12,18,24
3) 6, 9, 12
///2, 3, 4

3つの数の全部をわることができる数は2×3=6しかありません。
12=6×2、18=6×3、24=6×4で、3個の数全部をわれる数は6しかないので、6が3つの数の最大公約数です。


ところが、最小公倍数は、左の縦の2×3と最下段の2×3×4の積ではありません。
そこが、2個の数のときとは違います。

なぜ、ここでやめてはいけないのか?

ここでやめたら、最小公倍数は(2×3)×(2×3×4)ということになります。

ところが、
12=6×2
18=6×3
24=6×4=6×2×2
です。

この3つの数の最小公倍数を考えるとき、6×2×2×3であれば
、12=6×2も、18=6×3も、24=6×4=6×2×2も、すべてをふくむことができます。

つまり、
12=6×2
18=6×3
24=6×4=6×2×2

のとき、
12=6×2で、24=6×4=6×2×2だからといって、2を3個と数えてはいけない、2は2個だと考えないといけないということです。

だから、数が3個以上あるとき、3個の数全部がわれる数が最大公約数だが、最小公倍数はまだ求められない。
この問題のように、12=6×2、24=6×4と、6以外の2と4がまだ2でわれるときは(互いに素でないときは)、2つの数12と24を、両方をわれる2でわっておかないといけないということになります。


2)12,18,24
3) 6, 9, 12
///2, 3, 4
で、最大公約数の6を求めた後、最小公倍数を求めるには、さらに3つのうちの2つをわれる数で、わっていかないといけません。

2)12,18,24
3) 6, 9, 12
2) 2, 3, 4……2でわれなかった3は、そのまま下におろします。
///1, 3, 2

最小公倍数は、(2×3×2)×(1×3×2)=12×6=72です。


3個以上の数の連除法・はしご算・素因数分解では、
(1)すべての数をわれる数最大公約数である
(2)最小公倍数を求めるときは、さらに、2つでもわれる数があると、わっておかないといけない



数が4個のときも同様です。

8,12,20,36の最大公約数と最小公倍数を求めてみましょう。

2)8,12,24,36
2) 4, 6,12,18
3) 2, 3, 6, 9

4個の数全部をわることができるのは2×2=4しかありません。
最大公約数は4です。


最小公倍数を求めるには、さらに2つでも、3つでも、われる数があるとわっていきます。

2)8,12,24,36
2) 4, 6,12,18
3) 2, 3, 6, 9
……3でわれなかった2はそのまま下におろす
2) 2, 1, 2, 3……2でわれなかった1と3はそのまま下におろす
// 1, 1, 1, 3

最小公倍数は、(2×2×3×2)×(1×1×1×3)=24×3=72です。



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