働きアリ : math 円すいの展開図の中心角と母線・半径（小学生）

（この記事は小学生対象です。中学生の方は『円すいの展開図の中心角と母線・半径（中学生）』をご覧ください。）

円すいの母線の長さと底面の半径の長さと、円すいの展開図の側面の中心角との間に成り立つ関係について、知っていると問題がめちゃくちゃ楽に解けてしまう公式を覚えてください。

その公式とは、
360°：中心角=母線：半径
です。

例題：図は、底面の半径が1cm、側面の母線の長さが3cmである円すいの見取り図と展開図です。展開図の、側面の中心角は何度ですか。

公式、360°：中心角=母線：半径を知っていたら、
母線：半径が3：1だから、つまり、半径が母線の3分の1だから、中心角も360°の3分の1、
よって360×1/3=120°と、瞬時に答えが出てきます。

左の図の場合であれば、母線：半径=4：1だから、中心角は360°の4分の1、つまり90°です。

逆に、中心角がわかっているとき、半径や母線の長さを求める問題も瞬時に解くことができます。

例えば、左の図で底面の半径を求めたいとき、中心角が120°で360°の3分の1だから、底面の半径も母線の3分の1になり1cmだと、すぐに求められます。

公式、360°：中心角=母線：半径が成り立つ理由

公式を確実に自分の知識にするために、『なぜ、そうなるのか？』をきちんと理解しておきましょう。

展開図の側面はおうぎ形です。
このおうぎ形が含まれる円全体を考えるのがポイントです。

左の図を見たらわかるように、360°に対する中心角の割合と、円周全体に対するおうぎ形の弧の長さの割合は同じです。

まず、
360°：中心角=円周の長さ：弧の長さ…(1)
の関係が成り立っています。

次に、

円周を求める式は、直径×3.14の式より、
3×2×3.14

弧の長さは、底面の円の円周と一致するから、1×2×3.14

2×3.14の部分は共通なので、
3×2×3.14：1×2×3.14=3：1

このように、
円周の長さ：弧の長さ=母線：半径…(2)
の式が成り立ちます。

(1)と(2)より、
360°：中心角=円周の長さ：弧の長さ=母線：半径
つまり、
360°：中心角=母線：半径
です。

まとめます。