アルキメデスが発見したとされる、『てこの原理』といわれるものがあります。
てこの原理左図のように、支点からの距離がaのところに重さAのおもり、支点からの距離がbのところに重さBのおもりをさげたとき、つねにA×a=B×b・・・(1)
の式が成り立ちます。
これがてこの原理です。

てこの原理と反比例左の図でxの値を求めたいとき、
2×10=x×20
の式を立てて、
x=1kgを求めてもよいし、

積が等しいということは反比例ですから、支点からの距離が10:20=1:2だから、おもりの重さは逆の比の2:1となり、x=1kgと求めることもできます(こちらのやり方のほうが簡単なときが多い)。


また、てこを支えている点P(支点)には、おもり2つ分、A+Bの重さがかかっていると考えることができます(てこを支えている糸はA+Bの力でひっぱられています)。・・・(2)
支点にかかる力











上記の(1)と(2)をもちいて、2種類の相似の難問を簡単に解くことができます。


例題1:図の△ABCで、点Q,Rはそれぞれ辺CA,AB上にあり、例題1AR:RB=1:3CQ:QA=1:2である。線分BQと線分CRの交点をOとし、線分AOの延長と辺BCの交点をPとする。このとき、次の線分の比を求めよ。
(1)BP:PC
(2)AO:OP







(てこの原理を利用して解く方法)

まず、ABを1つのてこと考えます。
AR:RB=1:3だから、逆の比で、点Aに3のおもり、点Bに1のおもりがぶらさがっていて、てこABの支点Rには3+1=4の重さが加わっていると考え、図にかきこみます。
例題1の2










同様に、ACも1つのてこと考え、CQ:QA=1:2より、逆の比で、おもりの例題1の3比はA:B=1:2です。ところが、点Aの重さは3とかきこまれているので、点Cの重さは6ということになります。
また、てこACの支点Qにかかっている重さは3+6=9です。
さらに、点Cの重さが6なので、てこBCの支点Pにかかっている重さは、点Bの重さ1に点Cの重さ6を加えた7ということになります。
これらをすべて図にかきこみます。

これで、準備完了です。

かきこんだ図をながめるだけで、それぞれの問題を簡単に解くことができます。

(1)BP:PC

点Bの重さが1で、点Cの重さが6だから、BP:PCは逆の比の6:1です。

(2)AO:OP


点Aの重さが3、点Pの重さが7とかきこまれているので、AO:OPは逆の比の7:3です。



例題2:図の△ABCで、点Q,Rは、辺BCの延長線上にある点Pからひいた直例題2線と辺AC、辺ABとの交点である。AR:RB=2:3BC:CP=5:2のとき、次の線分の比を求めよ。
(1)CQ:QA
(2)RQ:QP







(てこの原理を利用して解く方法)

例題1と同じように、てこの原理を利用して、点A,B,Pに重さを、支点C,Q,Rに重さの合計をかきこみます。
例題2の2












あとは、図のかきこみを見て解くだけです。

(1)CQ:QA

点Cの重さが7で、点Aの重さが3だから、CQ:QAは、逆の比の3:7です。

(2)RQ:QP

点Rの重さが5、点Pの重さが5なので、逆の比も5:5=1:1が答えです。



例題1、例題2は、相似を使っても解けますし、高校で習うチェバの定理、メネラウスの定理を使っても解けますが、2つの定理を知らなくても、てこの原理を利用することで簡単に解くことができます。
相似とてこの原理












*****数学の全目次はこちら、ワンクリックで探している記事を開くことができます*****