1次関数の問題で、みなさんが悩む問題のほとんどは、上手に言い換えると簡単に解ける問題です。


言い換え、「通る」→「代入

例題1:1次関数y=3x-5のグラフが点(4,□)を通る。□にあてはまる数を求めよ。

(考え方)

グラフの本来の意味をわかっていたら簡単です。
グラフの式がy=3x-5であるとすると、その意味は、グラフ上のすべての例題1点のx座標とy座標の間にはy=3x-5の関係が成り立つ、ということです。

だから、点(4,□)がグラフy=3x-5上にあるときは、x=4、y=□をy=3x-5に代入してよいということになります。

つまり、「通る」→「代入」する。

x=4、y=□をy=3x-5に代入すると、
□=3×4-5
□=7
です。

また、ある点をグラフが「通る」=ある点が「グラフ上にある」ということですから、「グラフ上にある」=「代入」できる、です。

通る代入
グラフ上にある代入





言い換え2、平行」→「傾き」が同じ

例題2:次の一次関数ア〜エのグラフについて、平行な直線になるのはどれとどれか。
ア y=2x+4  イ y=-2x-5  ウ y=x-5  エ y=-2x+3


(考え方)

あるグラフとあるグラフが平行なとき、切片はちがいますが傾きは同じです。
例題2
だから、「平行」という言葉が出てきたら、「傾き」が同じだと読み替えたらよいのです。

ゆえに、平行な直線になるのは傾きが同じイとエです。

平行傾きが同じ











言い換え3、y軸上」で交わる→「切片」が同じ
言い換え4、x軸」→「y=0」、「y軸」→「x=0


例題3:次の一次関数ア〜エのグラフについて、(1)y軸上で交わるものはどれとどれか、(2)x軸上で交わるものはどれとどれか。
ア y=2x-5  イ y=-2x+10  ウ y=x-5  エ y=-2x+3


(考え方)

(1)y軸上で交わるものはどれとどれか

2つにグラフがy軸上で交わるとき、切片は同じです。
例題3
y軸上で交わる→切片が同じ

ゆえに、y軸上で交わるのは切片の等しいアとウです。

また、y軸上にある点の座標は、すべてx=0です。


(2)x軸上で交わるものはどれとどれか

(考え方)

y軸上にあるすべての点のx座標は0でした。

では、x軸上にある点の座標はどうなっているでしょうか?

(-1,0),(0,0),(1,0),(2,0)・・・と、
x軸上にある点の座標は、すべてy=0です。

だから、x軸上で交わる直線を探すときは、直線の式にy=0を代入して調べます。

y=-2x+10にy=0を代入すると、
0=-2x+10
2x=10
x=5
この直線は、x軸上の点(5,0)を通ります。

y=x-5にy=0を代入すると、
0=x-5
-x=-5
x=5
この直線も、x軸上の点(5,0)を通ります。

ゆえに、x軸上で交わるのはイとウです。


言い換え5、交点」→「連立

例題4:8km離れた地点甲と地点乙がある。Aは正午に甲を出発し時速2kmで乙に向かった。Bは正午に乙を出発し時速4kmで甲に向かった。
例題4グラフはその様子を表わしたもので、Aのグラフはy=2x、Bのグラフはy=-4x+8の式で表わすことができる。
2人が出会う時刻は何時何分か。また出会う地点は甲から何km離れた場所か。


(考え方)

2人が出会うのは、2つのグラフの「交点」であることに気づけば簡単です。

交点の座標は、直線を表わす2つの式を連立方程式とみたときの解になります。

交点の座標→連立方程式の解

連立方程式、
y=2x…(1)
y=-4x+8…(2)
を解きます。

代入法を使って、
2x=-4x+8
6x=8
x=4/3

x=4/3を(1)の式に代入して、
y=8/3

2人が出会う時刻は、4/3時間=1と1/3時間=1時間20分だから、午後1時20分。

出会う場所は甲から8/3kmのところです。


覚えておくべき言い換えのまとめ

1、「通る」→「代入
2、「平行」→「傾き」が同じ
3、「y軸上」で交わる→「切片」が同じ
4、「x軸」→「y=0」、「y軸」→「x=0
5、「交点」→「連立

1、2、5は頻繁に出てくるので特に重要です。
4は一番忘れやすい言い換えであり、要注意です。



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