作図の基本(「作図の方法は4種類であること」、「どんなときに垂直二等分線・角の二等分線・垂線の作図をするのか」)についてはこちらをご覧ください。
この稿では、作図の発展問題として、外接円の作図、内接円の作図、重心の作図、垂心の作図を考えます。


外接円の作図

外接円三角形の頂点を通る円のことを、外接円といいます(そして、外接円の中心を外心といいます)。

外接円を正確に作図する方法を考えてみましょう。







外接円の作図外接円の中心と三角形の3つの頂点を結ぶ線分は外接円の半径である、これがポイントです。



半径の長さは等しいはずなので、外接円の中心は三角形の3つの頂点から等しい距離にある点であることがわかります。



作図の基本で述べたように、2つの頂点から等しい距離にある点を見つけるには、垂直二等分線の作図を使います。

まず、辺の垂直二等分線を1本かきます。1本だと、その線上のどこかに外接円の中心があることがわかっただけです。
次に、別の辺の垂直二等分線を1本かきます。
その、2本の垂直二等分線の交点が、外接円の中心です(三角形の3つの頂点からの距離が等しい点です)。

つまり、外接円は、三角形の辺の垂直二等分線をかいて円の中心を求め、三角形の頂点を通る円をかくことでかけます。


内接円の作図

内接円三角形の内部にあって、三角形の3つの辺に接する円が内接円です(そして、内接円の中心が内心です)。

内接円を正確に作図する方法を考えてみましょう。




内接円の作図三角形に内接する円の中心から三角形の三辺にひいた垂線は、内接円の半径である、これがポイントです。



半径の長さは等しいはずなので、内接円の中心は三角形の3つのから等しい距離にある点であることがわかります。



作図の基本で述べたように、2つの辺から等しい距離にある点を見つけるには、角の二等分線の作図を使います。

まず、角の二等分線を1本かきます。1本だと、その線上のどこかに内接円の中心があることがわかっただけです。
次に、別の角の二等分線を1本かきます。
その、2本の角の二等分線の交点が、内接円の中心です(三角形の3つの辺からの距離が等しい点です)。

つまり、内接円は、三角形の角の二等分線をかいて円の中心を求め、三角形の三辺に接する円をかくことでかけます。


内接円を正確にかくには、もう一段階必要です。
内接円の作図2
辺に接する内接円の半径(内接円の中心を通り、辺に垂直で、辺までの距離を長さとする線分)を、正確に見つけておかないといけません。

まず、内接円の中心を通り、辺に垂直な直線を作図します。

そのあと、内接円の中心にコンパスの針をあて、作図した垂線と辺との交点にコンパスの鉛筆をあてると、正確な内接円をかくことができます。





重心の作図

三角形の1つの頂点と、向かい合う辺の中点を結ぶ直線を中線といいます。
3本の中線の交点が、三角形の重心です。

重心頂点と辺の中点を結べばよいので、このときの作図は中点を見つける作図、つまり、垂直二等分線の作図です。












垂心の作図

三角形の頂点から向かい合う辺に垂線をひくと、3本の垂線は1点で交わります。
この点を垂心といいます。

垂心垂心は、垂線の作図で簡単に見つけることができます。













傍心

ここでは詳しく述べませんが、三角形の外角の二等分線の交点を傍心、傍心を中心として三角形に接する円を傍接円といいます。

そして、外心、内心、重心、垂心、傍心の5つを、三角形の五心といいます。




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