中学校1年生の定期テスト、一次方程式の文章題で中学校の先生が好んで出題する問題にカレンダーの問題があります。

小学校の算数の発想ではなくて、中学数学の、求めたいものをxとして方程式をつくって問題を解く訓練をするには最適な問題だからでしょう。


例題1:A君はカレンダーを見ていて、カレンダーの数字を図のように十カレンダー1字で囲むと、5つの数字の和がつねに5の倍数となっていることに気づいた。

(1)カレンダーの数字を十字型のわくで囲むと、その5つの数字の和はつねに5の倍数になることを説明せよ。

(2)カレンダーの数字を十字型のわくでかこむと5つの数字の和が50になった。十字型のわくの中央にある数はいくつか。


(考え方・解き方)
カレンダーは、当然のことですが、横の行にある数字は、6,7,8,9,…と1ずつ増えていきます。
そして、縦の列にある数字は、1,8,15,22,29というように7ずつ増えていきます。

また、例題のカレンダーだと、月曜日の列は7,14,21,28と7の倍数が並び、その右横の火曜日の列は、1,8,15,22,29と7でわると1余る数が並んでいます。
つまり、カレンダーの縦の列には7でわったときの余りが等しいものが並んでいるというわけです。

カレンダーの問題を解くときは上に述べた規則を使います。

(1)カレンダーの数字を十字型のわくで囲むと、その5つの数字の和はつねに5の倍数になることを説明せよ。

カレンダーの問題を考えるとき、例題の例だと、1をx、7をx+6、8をx+7、9をx+8、15をx+14としても解くことはできます。

しかし、数字の並び方の規則を利用し、計算を簡単にしようと思えば、中央の数字をxとし、その上にある数をx-7、左横をx-1、右横をx+1、下をx+7と考えるほうが簡単です(数学では、簡単であるほどよい解き方です)。

(解答)
十字型のわくの中央の数字をxとすると、5つの数字はx-7,x-1,x,x+1,x+7と表すことができる。
この5つの数字の和は、x-7+x-1+x+x+1+x+7=5x
5xと表せるので、5の倍数である。

(2)カレンダーの数字を十字型のわくでかこむと5つの数字の和が50になった。十字型のわくの中央にある数はいくつか。

(解答)
わくの中央にある数をxとする。
5つの数字の和が50だから、
x-7+x-1+x+x+1+x+7=50
5x=50
x=10
十字型のわくの中央にある数字は10である。


例題2:カレンダーの9つの数字を図のように長方形のわくで囲むと、9カレンダー2つの数字の和は90である。

(1)カレンダーの9つの数字を長方形のわくで囲むと、その9つの数字の和はつねに9の倍数になることを説明せよ。

(2)カレンダーの9つの数字を別の長方形のわくでかこむと9つの数字の和が198になった。長方形のわくの中央にある数はいくつか。



(考え方・解き方)
問題の9つの数字を、中央の数をxとすると左図のように表すことができまカレンダー3す。











(解答)
(1)カレンダーの9つの数字を長方形のわくで囲むと、その9つの数字の和はつねに9の倍数になることを説明せよ。

長方形のわくの中央の数字をxとすると、9つの数字はx-8,x-7,x-6,x-1,x,x+1,x+6,x+7,x+8と表すことができる。
この9つの数字の和は、x-8+x-7+x-6+x-1+x+x+1+x+6+x+7+x+8=9x
9xと表せるので、9の倍数である。

(2)カレンダーの9つの数字を別の長方形のわくでかこむと9つの数字の和が198になった。長方形のわくの中央にある数はいくつか。

(解答)
わくの中央にある数をxとする。
9つの数字の和が198だから、
x-8+x-7+x-6+x-1+x+x+1+x+6+x+7+x+8=198
9x=198
x=22
長方形のわくの中央にある数字は22である。




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