集合の問題(重なりの問題)の解き方を考えます。

例題1:36人のクラスで算数のテストをおこないました。問題数は2問で、2問とも正解した人は9人、問い1の正解者は20人、問い2の正解者は12人でした。
(1)問い1だけ正解した人は何人ですか。
(2)2問とも正解できなかった人は何人ですか。



ベン図

集合の問題を考えるときに使われる便利な図が、イギリスの数学者ベンの考案したベン図です。
ベン図左図のように、クラス全体を長方形で表し、問い1と問い2の正解者をそれぞれ2つの円で表します。
どちらにも含まれる人(両方とも正解した人)があるときは一部が重なった2つの円で表します。

問題を解くとき、このベン図に数値を書き込むと簡単に解くことができます。







ベン図に数値を書き込んだものが次の図です。
例題1
問い1の正解者20人は、問い1だけを正解した人と問い2も正解した人を含んでいます。
このようなとき、円の内部に書き込まないで、両方を含んでいることがひと目でわかるように、問い1を表す線上に20と書き込むと後で混同しません。

問い2の正解者12人も同じように問い2を表す線の上に書き込みます。

両方の問題の正解者9人は、混同するおそれがないので、線上ではなくて内部に9と書き込みます。

例題1の2
そのあと、問い1だけの正解者を求めて(20-9=11)図の内部に書き込み、問い2だけの正解者を求めて(12-9=3)図の内部に書き込むと、視覚的にはっきりして悩まずに解くことができます。


(解答)
(1)問い1だけ正解した人は何人ですか。
20-9=11
11人です。

(2)2問とも正解できなかった人は何人ですか。
36-(11+9+3)=13
13人です。

この例題は、20+12=32は両方とも正解の人数9人を1回だけダブって数えているから、36-(20+12-9)=13と、「頭で」考えても解くことができます。
しかし、ベン図を使い、それぞれの部分だけの人数を線上ではなくて内部に11、9、3と書き込むことで、「目で」確かめながら、「確信をもって」「正確に」解くことができます。


例題2:あるクラスで、ソフトボール部に入っている人は13人、コーラス部に入っている人は20人、水泳部に入っている人は7人です。水泳部だけに入っている人は2人います。ソフトボール部と水泳部の両方に入っている人はいません。また、3つのクラブに入っている人もいません。クラブに入っている人は全部で28人います。
(1)2つのクラブに入っている人は何人ですか。
(2)ソフトボール部だけに入っている人は何人ですか。


3種類の部分集合(重なり:この例題だとソフトボール部、コーラス部、水泳部)があるとき、ベン図は次の図になります。
ベン図の2









この図に、まず、問題文に出てきた数値を書き込みます。
例題2
左のベン図から、コーラス部と水泳部の両方に入っている人は7-2=5人だとわかります。

さらに、水泳部だけに入っている人が2人であることからソフトボール部かコーラス部に入っている人は28-2=26人とわかります。

すると、ソフトボール部とコーラス部の両方に入っている人は、13+20-26=7人です。

これで、ベン図の中のすべての図の内部の人数がわかります。
例題2の2
(解答)
(1)2つのクラブに入っている人は何人ですか。

左図より、
7+5=12人

(2)ソフトボール部だけに入っている人は何人ですか。

左図より、13-7=6人


このように、ベン図を書いて、その図の内部に、その集合だけに含まれる個数を書いていくと、集合(重なり)の問題は簡単に解くことができます。


例題3:39人のクラスで、それぞれ100点満点の算数と国語のテストをしました。算数だけが70点以上の人は11人、どちらも70点未満の人は6人でした。また、国語だけが70点以上の人は、両方とも70点以上の人の2倍よりも5人少なかったそうです。国語だけが70点以上の人は何人ですか。

(解答)
例題3ベン図より、
11+□+□×2-5=39-6
□+□×2-5=39-6-11
□+□×2-5=22
□+□×2=27
□×3=27
□=9

国語だけが70点以上の人は、9×2-5=13人







(まとめ)
1、集合の問題を解くときはベン図を利用する。
2、1つだけの集合を表す数値は図の内部に書き込み、2つ以上の集合にまたがっている数値は線上に書き込む。



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