math 集合の問題・ベン図と方程式（中学数学）

これから増えるであろうと予想されるのが集合の問題です。

集合の問題を考えるときに使われる便利な図が、イギリスの数学者ベンの考案したベン図です。
集合の問題はベン図を活用します。









例題１：あるクラスで英語と国語のテストを実施した。英語のテストに合格した生徒はクラスの5/9、国語のテストに合格した生徒はクラスの4/9、両方の教科に合格した生徒はクラスの1/5であった。また、両方の教科に不合格になった生徒は9人であった。このクラスの生徒数は何人か。

（考え方・解き方）
求めないといけないクラスの生徒数をxとして、問題に書いてあることをベン図にかき込みます。
集合の問題をベン図を使って解くとき、もっとも確実に解くためのコツは、それぞれの部分のすべてをxを使って表すことです。

この問題であれば、英語だけの合格者、両方の合格者、国語だけの合格者、両方の不合格者の4つを、xをもちいた式で表します。

英語の合格者は5/9x、両方の合格者は1/5xだから、英語だけの合格者は5/9x-1/5x。

同様に、国語だけの合格者は4/9x-1/5x。

両方の科目に合格した人は1/5x。

両方とも不合格の人は9人。

これで、集合の問題を解くことができます。

クラス全員の人数がxだから、できる式は、
(5/9x-1/5x)+(4/9x-1/5x)+1/5x+9=x
式を整理して、
5/9x-1/5x+4/9x-1/5x+1/5x-x=-9
-1/5x=-9
x=45

クラスの人数は45人です。


（重なりをひいて求める方法）
左図で、A+Bだと、重なった部分のCを2回数えたことになるので、
X=A+B-C
の関係が成り立ちます。

それがわかっていれば、この問題を解くときの式としては、
(5/9x+4/9x-1/5x)+9=x
としたほうが簡潔です。


例題２：39人の クラスで、それぞれ100点満点の数学と英語のテストをした。数学だけが70点以上の人は11人、どちらも70点未満の人は6人であった。また、英語だ けが70点以上の人は、両方とも70点以上の人の2倍よりも5人少なかった。2科目とも70点以上の人は何人か。

（考え方・解き方）
求めないといけない2科目とも70点以上の人をx人として、問題に書いてあることをベン図にかき込みます。

「英語だ けが70点以上の人は、両方とも70点以上の人の2倍よりも5人少なかった」とあるので、英語だけが70点以上の人は(2x-5)人です。

あとは、ベン図を見て方程式を立てるだけです。

11+x+2x-5+6=39
x+2x+12=39
3x=27
x=9

答えは9人です。




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Comments

[6. アリ]

誤解が解けてよかったです。
私も勘違いをすることがあるので、ベン図を書くとき、例えば数学が70点以上の人（数学だけが70点以上の人+英語も70点以上の人）を表すときは、2つの集合にまたがっているので赤い円の線上に数字を書き込み、ベン図の内部に書き込んだ数字（例えばこの問題では11人）は、数学だけが70点以上の人を表す、というように自分では区別しています。

[5. こんぱす]

そのとおりです(^_^;)
赤い円が11人と表示していると勘違いしました。
お手数おかけしました。

[4. アリ]

おっしゃっていることが私には理解できないのですが…。
ひょっとして、図に私が記入した「数学70点以上」「英語70点以上」を、「数学『だけ』が70点以上」「英語『だけ』が70点以上」と読んでおられるのではないですか？

[3. こんぱす]

日本語として、
数学だけが７０点以上＝数学は７０点以上、英語は７０点未満
と理解するのが普通ではないでしょうか？
さらに、上のベン図からは
11+x+2x-5+6=39
この式を導けません。
なぜなら重なっているところを考慮していないからです。

[2. アリ]

赤い円は数学が70点以上の人で、数学だけが70点以上の人と英語も70点以上の人を含んでいます。
同様に、青い円も英語だけが70点以上の人と数学も70点以上の人の両方を含んでいます。

[1. こんぱす]

いつもお世話になっております(^^)

例題２のベン図は間違いではないでしょうか？

数学だけが70点以上の人と英語だ けが70点以上の人はダブることはないので、
赤い円と青い円は重ならないと思います。