入試問題を解くとき、その問題を解くための入り口は決まっており、正しい入り口から入らないと問題は解けません。

平面図形の応用問題は、相似三平方の定理をもちいて解きます。


平面図形(相似)の問題の入り口・・・ちょうちょ型の相似を見つけて比を書き込み、おむすび型の相似を使って解く

例題:
AD//BC、AD=3cm、BC=6cmの台形ABCDがある。対角線相似AC、BDの交点をEとし、Eを通り、BCに平行な直線と辺CDの交点をFとする。次の問いに答えなさい。
(1)EFの長さを求めよ。
(2)△DBFの面積は、台形ABCDの面積の何倍かを求めよ。








(正しい入り口から入る)
ちょうちょ型相似を見つけてを書き込み、おむすび型相似を使って解きます。

相似の2
まず、ちょうちょ型の相似を見つけます。
△AED∽△CEBです。

次に、相似比を見つけて、それを書き込みます。
AD:BC=3cm:6cmだから、
AD:BC=1:2
見つけた相似比を、DE:EBに書き込んでおきます。




次に、おむすび型の相似を見つけて、求める長さにxと書き込み、比を使って方程式を立てると、答えを求めることができます。
相似の3
△DEF∽△DBCで、相似比は1:1+2=1:3です。

比の方程式を作ると、
x:6=1:3
この方程式を解いて、
3x=6
x=2

EFの長さは2cmです。



面積を比べる問題の入り口・・・高さが等しい三角形を見つけて、底辺の比を使って面積の比を求める

(2)△DBFの面積は、台形ABCDの面積の何倍かを求めよ。
相似の4
(面積の比を求める問題の入り口)
高さが等しい三角形を見つけて、底辺の比を使って面積の比を求めます。










まず、△ABDと△DBCは高さが同じです。
相似の5
底辺の比はAD:BC=3:6=1:2です。

高さが等しく、底辺の比が1:2であれば、面積の比は1:2になるはずです。
△ABD:△DBC=1:2

また、△ABDの比が1で、△DBCの比が2であれば、台形ABCDの面積の比は3です。

ゆえに、△DBCの面積は台形ABCDの2/3です。


次に、△DBFと△FBCは、DFとFCを底辺とみれば、高さが等しい三角形です。
相似の6
(1)より、DE:EB=1:2だから、DF:FC=1:2です。

底辺の比が1:2だから、△DBFと△FBCの面積の比も1:2であり、△DBCの面積の比は3です。
ゆえに、△DBFの面積は△DBCの面積の1/3です。

△DBCの面積が台形ABCDの面積の2/3であり、
さらに△DBFの面積が△DBCの面積の1/3だから、
△DBFの面積は台形ABCDの面積の2/3×1/3=2/9。

△DBFの面積は台形ABCDの面積の2/9倍です。


この稿のまとめ

1、平面図形(相似)の問題の入り口・・・ちょうちょ型の相似を見つけてを書き込み、おむすび型の相似を使って解く

2、面積を比べる問題の入り口・・・高さが等しい三角形を見つけて、底辺を使って面積を求める



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