入試問題を解くとき、その問題を解くための入り口は決まっており、正しい入り口から入らないと問題は解けません。

空間図形の応用問題は、三平方の定理相似をもちいて解きます。


空間図形(三平方の定理)の問題の入り口・・・平面を見つけて、平面を書き出し、平面を使って解く

例題:1辺の長さが8cmの正四面体O-ABCがあり、BCの中点をM、OD=DMとなるOA上の点をD、MからOAにひいた垂線とOAとの交点をNとする。このとき、次の問いに答えよ。
三平方(1)MNの長さを求めよ。
(2)点DからAMにひいた垂線とAMとの交点をHとするとき、DHの長さを求めよ。












(正しい入り口から入る)
求めたい線分がふくまれている平面を見つけてその平面を書き出し、書き出した平面の図を使って解きます。

(1)MNの長さを求めよ。
三平方の2MNをふくんでいる平面は△OAMです。
平面である△OAMで考えますが、辺OM、辺AMの長さを先に求めておかないといけません。

そこで、まず、辺の長さがわかっている正三角形△OBCか△ABCを使って、OMかAMの長さを先に求めます。

どちらでもよいのですが、△OBCを使ってOMの長さを求めましょう。

このとき、さっと平面OBCを書き出して解くほうが正確に解けます。
三平方の3
△OBCは1辺が8cmの正三角形です。
1つの角が60°だから、BM:OB:OMは1:2:√3です。
BM=4だから、OM=4√3。

OMもAMも長さは4√3です。

OM、AMの長さがわかったので、次に△OAMを書き出して、その平面を使ってMNの長さを求めます。



三平方の4AN=4、AM=4√3、∠ANM=90°より、直角三角形AMNで三平方の定理をもちいて式を立てます。
三平方の5












(2)点DからAMにひいた垂線とAMとの交点をHとするとき、DHの長さを求めよ。
三平方の2難しい問題になるほど、平面で解かないと解きにくくなります。

DHが含まれる平面も△OAMですから、これまでにわかった長さを記入し、もう一度△OAMを書き出して考えていきます。







三平方の6DHの長さを求める前に、ADやODの長さがわかっていないので、まずそちらを先に求めないといけません。

問題文中のOD=DMがヒントになります。
OD=DM=xとすると、
直角三角形NDMで、DM=x、DN=x-4、MN=4√2。
三平方の定理をもちいて式を作ります。
三平方の7










わかった、DM=6cm、DN=2cmをさらに書き込んで、やっとDHの長さを求めることができます。
三平方の8
DA=2、DM=6、AM=4√3と、3辺の長さがわかっているので、AHを先に求めないと解くのに時間がかかります。

AH=yとすると、HM=4√3-y。
直角三角形DAHと直角三角形DHMで三平方の定理を使ってDHの2乗を2通りの方法で表わせることを使って方程式を立てます。
三平方の9












最後に直角三角形DAHでもう一度三平方の定理を使います。
三平方の10






















三平方の定理も相似も、習うときはまず平面図形の問題として学習します。また、試験の答案用紙も平面です。
私たちの目と頭は、ものごとを考えるとき、平面で考える癖があるのです。

だから、空間図形の問題も平面の問題として考えるほうがずっと解きやすいし、間違いも少なくなります。



この稿のまとめ

空間図形(三平方の定理)の問題の入り口・・・平面を見つけて、平面を書き出し、平面を使って解く




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