入試問題を解くとき、その問題を解くための入り口は決まっており、正しい入り口から入らないと問題は解けません。

並び方(順列)の問題は、わくを書いて解きます。


並び方(順列)の問題の入り口・・・わくを書いて場合の数を書き込み、計算で求める

例題:A,B,C,D,Eの5人を長いすに横一列に座らせます。次の問いに答えよ。
(1)5人の並び方は全部で何通りあるか。
(2)B,Cの2人がとなり合わせになる並び方は何通りあるか。
(3)A,Bが長いすの両端に座る確率を求めよ。
(4)B,Cの2人がとなり合わせにならない確率を求めよ。


(正しい入り口から入る)
(1)5人の並び方は全部で何通りあるか。
樹形図左端をAと決めると、左から2番目にはB,C,D,Eの4通りが座る可能性があります。
2番目がBと決まると左から3番目に座る可能性があるのはC,D,Eの3通り、
A,B,Cと座ると4番目はD,Eの2通り、
最後にA,B,C,Dが座ると右端はEだけの1つです。

そして、左端に座る可能性があるのはAと、B,C,D,Eの5通りです。

左端が5通り、その1つについて左から2番目が4通りずつ、3番目が3通りずつ、4番目が2通りずつ、右端が1通りです。
これを式に書くと、
5×4×3×2×1となります。

以上の理屈を理解した上で、問題を解くときは、5人の座るいすをそれぞれ1つのわくと考え、わくの中にすわる可能性のある人数を書き込んでいきます。

順列5人の並び方は、5×4×3×2×1=120通りです。




(2)B,Cの2人がとなり合わせになる並び方は何通りあるか。
B,Cの2人がとなり合わせなので、B,Cをくっついた1つの組、(BC)と考えて、A,(BC),D,Eの4つの並び方を考えます。
順列の2
並び方は4×3×2×1=24通りです。

ところが、「B,Cの2人がとなり合わせ」というとき、B,Cの順に並んでいるとは限りません。
C,Bの並び方もあります。
上で求めた24通りはB,Cと並んだときなので、同じ個数だけあるはずのC,Bと並んだときも考慮しないといけません。

以上より、B,Cの2人がとなり合わせになる並び方は、
24×2=48通りです。


(3)A,Bが長いすの両端に座る確率を求めよ。
Aを左端、Bを右端と決めてわくを書いてみます。
順列の3Aが左端、Bが右端と決めたので、残ったのはC,D,Eの3人です。
だから、座り方は3×2×1=6通り。

ところが、Bが左端でAが右端の場合も同じ個数だけあるから、「A,Bが長いすの両端に座る」並び方は、6×2=12通りだということになります。

最後に、(1)で求めた5人の並び方の120通り、A,Bが両端に座る12通りを、確率の式「ある場合の数/すべての場合の数」にあてはめて、
12/120=1/10

答えは1/10です。


場合の数・確率の問題の入り口・・・「ならない」場合の数は、全体や1から「なる」場合をひく

(4)B,Cの2人がとなり合わせにならない確率を求めよ。
正直に「となり合わせにならない」場合を数えるのは大変です。

場合の数や確率の問題では、「ない」=「全体-なる場合」、「ない確率」=「1-なる確率」で求めればよいという法則があります。

(解き方1)
5人の並び方は120通り、2人が「となり合う」並び方は48通りでした。
だから、「となり合わせにならない」並び方は、120-48=72通りです。

確率の式「ある場合の数/すべての場合の数」にあてはめて、72/120=3/5、「B,Cの2人がとなり合わせにならない確率」は3/5です。

(解き方2)
5人の並び方は120通り、2人が「となり合う」並び方は48通りでした。
だから、B,Cの2人が「となり合う」確率は48/120=2/5です。

「となり合う」確率が2/5だから、「となり合わせにならない」確率は、1-2/5=3/5です。



この稿のまとめ

1、並び方順列)の問題の入り口・・・わくを書いて場合の数を書き込み、計算で求める

2、ならない」場合の数・確率の問題の入り口・・・「ならない」場合の数は、全体1から「なる」場合をひく



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