入試問題を解くとき、その問題を解くための入り口は決まっており、正しい入り口から入らないと問題は解けません。

この稿では合同の証明問題について考察します。


合同を証明する問題の入り口・・・辺=辺、角=角を証明するときは、三角形の合同を利用する

例題1:△ABCの外側に、それぞれAB、ACを1辺とする正三角形合同ABD、正三角形ACEをつくる。DとC、BとEを結ぶ。このとき、DC=BEであることを証明せよ。









(正しい入り口から入る)
辺と辺、角と角が等しいことを証明するときは、「合同な図形の対応する)は等しい」ことから、まず、先に2つの三角形が合同であることをいいます。

その前に、証明の問題では、問題文中の仮定を図に書き込み、問題文中の合同の2結論を図でなぞっておくと、それだけでだいぶ簡単になることも知っておきましょう。

この問題だと、結論のDC=BEの、辺DC、辺BEをなぞっておくと、DCを含む△ADCとBEを含む△ABEの合同をいえばよいことが一目でわかります。

(証明)
△ADCと△ABEにおいて、
仮定より、正三角形ADBの辺だから、AD=AB・・・(1)
同様に、正三角形ACEの辺だから、AC=AE・・・(2)
∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+∠BAC
∠BAE=∠EAC+∠BAC=60°+∠BAC
ともに、60°+∠BACだから、∠DAC=∠BAE・・・(3)

(1)(2)(3)より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△ADC≡△ABE
合同な図形の対応する辺は等しいから、
DC=BE


やや難しい証明問題の入り口・・・A=C、B=CだからA=Bと論証する

上の(証明)のうちで太字で示した部分
∠DAC=∠DAB+∠BAC=60°+∠BAC
∠BAE=∠EAC+∠BAC=60°+∠BAC
ともに、60°+∠BACだから、∠DAC=∠BAE・・・(3)

が、書き方を覚えておくべき大事な場所です。

A=CB=CだからA=Bという記述の仕方をよく使います。

さらに、
正三角形の問題の入り口・・・すべての角が60°であることを使う
も重要です。


よく似た問題で練習してみましょう。

例題2:△ABCの辺AB、辺BCをそれぞれ1辺とする正方形ADEBと正方合同の4形BFGCを△ABCの外側に作る。このとき、AF=ECであることを証明せよ。





















(正しい入り口から入る)
合同を証明する問題の入り口・・・辺=辺、角=角を証明するときは、三角形の合同を利用する
合同の3
1、仮定(AB=EB、BF=BC)を図に記入し、結論(AF=EC)をなぞっておく。

2、
辺と辺、角と角が等しいことを証明するときは、「合同な図形の対応する)は等しい」ことから、まず、先に2つの三角形が合同であることをいう。

(証明)△ABFと△EBCにおいて、
仮定より、正方形ADEBの辺だから、AB=EB・・・(1)
同様に、正方形BFGCの辺だから、BF=BC・・・(2)
∠ABF=∠CBF+∠ABC=90°+∠ABC
∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+∠ABC
ともに、90°+∠ABCだから、∠ABF=∠EBC・・・(3)

(1)(2)(3)より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△ABF≡△EBC
合同な図形の対応する辺は等しいから、
AF=EC


やや難しい証明問題の入り口・・・A=C、B=CだからA=Bと論証する

上の(証明)のうちで太字で示した部分
∠ABF=∠CBF+∠ABC=90°+∠ABC
∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+∠ABC
ともに、90°+∠ABCだから、∠ABF=∠EBC・・・(3)

が、書き方を覚えておくべき大事な場所です。

さらに、
正方形の問題の入り口・・・すべての角が90°であることを使う
も重要です。




この稿のまとめ

1、合同を証明する問題の入り口・・・==を証明するときは、三角形の合同を利用する

2、やや難しい証明問題の入り口・・・A=C、B=CだからA=Bと論証する

3、正三角形の問題の入り口・・・すべての角が60°であることを使う
正方形の問題の入り口・・・すべての角が90°であることを使う





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