接線の性質として知っておかないといけないことは2つです。
(1)接線は、接点を通る半径垂直である。
(2)接線の長さ等しい
接線の性質(1)の、「接線は、接点を通る半径と垂直」は気づきやすいのですが、(2)の、「接線の長さは等しい」を、時々忘れてしまうことがあります。







例題1:図で、EA、DF、ECはそれぞれ点A、B、Cで円Oと接する接線であ接線の性質の1る。AE=8のとき、△DEFの周の長さを求めよ。









(解き方と解答)
AE=8と、「接線の長さは等しい」が言える部分を図示してみます。
接線の性質1の2
接線の長さが等しいから、CE=8。

また、DB=DA、FB=FC。
よって、FD=DB+FB=DA+FC。

△DEFの周の長さDE+EF+FD
=DE+EF+(DB+FB)
=DE+EF+(DA+FC)
=(DE+DA)+(EF+FC)
=AE+CE
=8+8
=16


次の問題は、「ひらめき」がないと、難問です。

例題2:図のように、半径2cmの円Oと半径1cmの円O'が点Aで接してい接線の性質2る。直線Lは2つの円とそれぞれ点B、Cで接し、直線Mは2つの円と点Aで接している。直線LとMの交点をDとする。四角形OADBの面積を求めよ。








(解き方と解答)
「接線は、接点を通る半径と垂直」は絶対に使うでしょうから、垂直の記接線の性質2の2号を記入してみます。

そうすると、ODを結べばよいのではないかと思いつきます。
ODで2つの三角形に分割することで、△BODの面積、△AODの面積を求めたらよいのではないかと推測できるからです。

その後が、難しい。
BDの長さとADの長さがわかれば△BODと△AODの面積を求めることができますが、どうやってBD、ADの長さを求めるか?




接線の性質2の3

「接線の長さは等しい」が使えるように、等しい部分に印をつけると、やっと解き方が見えてきます。









それと、頻出事項である次の問題を思いうかべることができれば、やっと解くことができます。
接線の性質2の4
O'からBOに垂線をひき、交点をEとします。

(1)台形の高さを求めるときは垂線をひく、
(2)2つの円の半径の差を利用できる、
の2つが、EO'をひく根拠です。

△EOO'が直角三角形なので、三平方の定理を使って、EO’=2√2。
接線の性質2の5








だから、BCの長さも2√2。




接線の性質2の6BD=AD=CDより、BD=CD=2√2÷2=√2。
BD=√2、AD=√2を使うことができます。

△BOD=2×√2×(1/2)=√2。
△AOD=2×√2×(1/2)=√2。

よって、四角形OADBの面積は、
四角形OADB=△BOD+△AOD
=√2+√2
=2√2。








この稿のポイント

接線の問題を解くときは、

1、(1)接線は、接点を通る半径垂直である。
(2)接線の長さ等しい
の、2つを利用する。

2、三平方の定理を使って解くことが多いが、頻出問題の解法を理解しておくことが「ひらめき」に通じる。




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