最短距離を作図させる問題で、最後に出てくる難問があります。

例題1:両岸LとMが平行で、川幅がrの川がある。この川に、岸に垂直な橋を川の作図かけて、たがいに川の反対側にあるA地点からB地点まで行く道のりが最も短くなるようにしたい。このとき、橋CDの位置を作図しなさい。









(考え方・解き方)
問題文に「道のりが最も短くなるように」とあるので、いわゆる最短距離を求める問題です(最短距離については、こちらを参照)。

最短距離になるのは2地点間を直線で結んだときですが、この問題では川に垂直な橋をかけないといけないので、そのことをどう考慮するのかという疑問が生じます。
川の作図の2橋の幅は一定でrですから、橋の長さCDは常に一定でrです。
ということは、AC+BDが最短になればよいわけです。
そこに気づくかどうかが、この問題を解けるかどうかの分かれ目です。

もう一度、「最短距離とは直線になるときである」ことを確認しておきましょう。
AC+BDが、直線になればよいのです。
では、AC+BDが直線になるように作図するにはどうしたらよいか。

AC+BDが直線になるように図の線分BDを移動できないかと考えると、正解が見えてきます。
川の作図の3すなわち、線分BDを上に移動させてDがCに重なるとき、AC+BDが直線になることがわかります。

そしてこのとき、上方に移動させた距離(線分BB'の長さ)は、線分CDと等しい長さですから、川幅rと同じ長さです。

以上より、この問題の解き方は次のようになります。

川の作図の4(1)点Bから直線Lに垂線をひく。
(2)垂線上の、点Bから川幅rの長さ分上方の点を見つけて、その点をB'とする。
(3)点Aと点B'を直線で結び、この直線と直線Lとの交点Cを見つける。
(4)点Cから直線Mに垂線をひき、Mとの交点をDとする。
(5)点AとC、CとD、BとDをむすぶ。





次の問題は、昨日、解き方をとっさには思いつけなかった問題です。

例題2:図で、点A、Bの座標はそれぞれ(1,0)、(4,5)で、点C、Dはy軸グラフと最短距離上の点である。点Dのy座標は正であり、点Cのy座標は点Dのy座標より1だけ大きい。四角形ABCDの周の長さが最小となるときの点Cの座標を求めよ。











(考え方・解き方)
グラフと最短距離の2この問題でも、線分AB、線分CDの長さは常に一定だから、BC+ADの長さが最短になればよいことに気づくかどうかが、解けるかどうかの分かれ目です。

例題1との違いは、点Aと点Bがともにy軸の右側にあることです。
最頻出事項である、こちらの2番目の問題と同じであることに気づけば、やっと解くことができます。
つまり、(1)最短距離は常に直線になる、(2)2点がある直線に対して同じ側にあるときは、ある点と、もう一方の点の直線について対称な点を直線で結べばよい、を使います。

さらに、間にじゃまな線分CDが入ることは例題1と共通であることから、同じ発想で解けることに気づかないといけません。

以上の考察を経て、次のように解くことができます。
グラフと最短距離の3
線分ADとBCとの間に、長さ1の線分CDが入るので、点A(1,0)を真上に1だけ移動した点A'(1,1)を考えます。

点A'と、y軸について対称な点をA''とします。

点Bと点A''を結ぶ線分A''Bを結びます。
この線分が点A''と点Bを結ぶ最短距離です。
このとき、線分A'C+BCは最も短いことになります。
そして、四角形CDAA'は平行四辺形だからCA'=DA。
以上より、BC+ADの長さも最短であるといえます。

最後に、点A''と点Bを通る直線の式を求めて点Cの座標を求めます。

点A''(-1,1)と点B(4,5)を通る直線の式は、傾きが4/5だから、y=4/5x+9/5。
よって、点Cの座標は(0,9/5)です。



この稿のポイント

1、2点を結ぶ最短距離は、直線をひいて求める。

2、ある点から直線上の点を経て別の点に至る最短距離は、どちらか一方の点の直線について対称な点を見つけて、その点ともう一方の点を結ぶ線分をひいて求める。

3、間に長さがわかっている線分がはさまるときは、一方の点を移動して、その点ともう一方の点を結ぶ線分を考える。




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