平方根の章を一目で理解できるように、重要事項を最も簡単にまとめました。

1、平方根の意味

平方根Aの2乗Bであるとき(例えば、3の2乗が9)、AをBの平方根という(39の平方根)

平方根+-2つある…
(例)3の2乗の3×3も9、‐3の2乗の(-3)×(-3)も9だから、9の平方根は3-3の2つ(±3

平方根整数小数分数表せるとき…その数を見つける
(例)4の平方根は±20.16の平方根は±0.44/9の平方根は±2/3

平方根整数小数分数表せないとき…その数字を表す方法がないので√(ルート)という記号を使って表す
(例)2の平方根は±√23の平方根は±√3

覚えておくべく平方根…
1の平方根 ±1、4の平方根 ±2、9の平方根 ±3、16の平方根 ±4、25の平方根 ±5
36の平方根 ±6、49の平方根 ±7、64の平方根 ±8、81の平方根 ±9、100の平方根 ±10
121の平方根 ±11、144の平方根 ±12、169の平方根 ±13、196の平方根 ±14、225の平方根 ±15、256の平方根 ±16、289の平方根 ±17、・・・、441の平方根 ±21、・・・、625の平方根 ±25、・・・

整数の平方根が整数で表せないとき…記号(ルート:根号)を使う
2の平方根 ±√23の平方根 ±√35の平方根 ±√56の平方根 ±√67の平方根 ±√78の平方根 ±√810の平方根 ±√1011の平方根 ±√11、・・・

平方根とルートの関係
25の平方根は±5であり、25の平方根は±√25=±5であるということもあるが、違いは…
(例)
25の平方根は5と-5(平方根±の2個ある)
ところが、√25=5(ルート1個だけ)、-√25=-5(ルート1個だけ)で、正負は記号√(ルート)の前の正負で決まる

0の平方根は0の1個だけ

負の数に平方根はない(どんな数も、2乗してマイナスになることはないから)


2、平方根の性質

√aの2乗はaである…

平方根の性質の1(覚え方)ルートは、2乗すると、ルートがとれる

平方根の性質の2


平方根の大小
平方根の性質の2を利用して、2乗すると大小を比較できる

(例)√17と5の大小は、√17の2乗は17で、5の2乗は25だから、√17<5
-√17の-5の大小は、負の数のときは、絶対値の大きいほうが小さいから、2乗したときの17<25より、逆になって-√17>-5

(例)2<√x<3にあてはまる整数xの値は…
2乗すると4<x<9より、x=5,6,7,8

ルートの整数部分4,9,16,25,・・・などの、ある整数の2乗になっている数を利用すると求められる
(例)√7の整数部分…√4<√7<√9より、2<√7<3だから、√7の整数部分は2


3、有理数と無理数

有理数分数で表わせる数
無理数…分数では表わせない数

整数…分母が1の分数で表せるので、有理数
分数…最初から分数だから有理数
小数有限小数(0.23など)・循環する無限小数(0.121212…など)・循環しない無限小数(3.141592…など)の3つに分類でき、有限小数循環する無限小数は分数に表せるので有理数循環しない無限小数だけが無理数

無理数循環しない無限小数だけ、円周率のπだけが無理数

循環小数…同じ数字がくりかえされる小数

分数を循環小数で表す…分子÷分母を計算する
(例)2/3=2÷3=0.6666…
循環小数循環する数字の上に・をつけて表示する


循環小数を分数で表す…1/9,1/99,を利用する
(例)
循環小数の2


循環小数の3


循環小数の4


循環小数の5




4、平方根の計算で守らないといけないルール

(1)ルートが整数になおせるときは、整数になおす

(例)√4=2√9=3√16=4、…

(2)ルートの中にある数の2乗がふくまれるときは、その数を外に出す

(例)√8=√4×2=2√2√12=√4×3=2√3√18=√9×2=3√2√24=√4×6=2√6√27=√9×3=3√3√32=√16×2=4√2、…

(3)分母ルートがあるときは、同じルート分母分子にかけて、分子にルートがない形にする(有理化

(例)
有理化の1


有利化の2



5、ルートの乗法・除法

整数整数どうし、ルートの中の数字ルートの中の数字どうしで、かけたりわったりする

(例)
2√15×3√2…整数は整数どうし、ルートの中の数字はルートの中の数字どうしで、かける
=6√30

-√6×2√3
=-2√18…ルートの中にある数の2乗があるときは、その数を外に出す
=-2×3√2
=-6√2

√160÷2√5
=4√10÷2√5…整数は整数どうし、ルートの中の数字はルートの中の数字どうしで、わる
=2√2

平方根の乗法除法

…分数にして、ルートの中どうしを先に約分する








6、ルートの加法・減法

ルートはそのままで、ルートの前の数字どうしを、たしたり引いたりする
(例)
2√3+5√3
=7√3

√80-2√45…ルートの中にある数の2乗があるときは、その数を外に出してから計算する
=4√5-2×3√5
=4√5-6√5
=-2√5

√3(√15-√12)-(√49-√20)
=√45-√36-√49+√20
=3√5-6-7+2√5
=5√5-13

(√3+2)(√3+4)…乗法公式が使えるときは乗法公式を使う
=3+(2+4)×√3+2×4
=3+6√3+8
=11+6√3


7、平方根の応用問題

ルートの近似値を求める問題…√100=10√10000=100を利用する

(例)√2=1..414として、ルートを小数で表す問題
√200
=√100×2
=10×√2
=10×1.414
=14.14


近似値











ルートが整数となる条件を求める問題…ルートの中に、ある数の2乗ができればよい

(例)√45nが整数となるような、もっとも小さい整数nを求める問題
√45n=3√5nより、最小のnは5…√a×√a=aを利用すればよい


ルートの整数部分、小数部分を求める問題…先に整数部分を求める

(例)√5の整数部分をa、小数部分をbとするとき、√30のaとbを求める問題

√25<√30<√36より、5<√30<6
だから、√30の整数部分は5
a=5

次に、√30の小数部分は、√30全体から整数部分を引いた残りだから、b=√30-5



(平方根の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)