素数・素因数分解・因数分解・式の計算の利用の章を一目で理解できるように、重要事項を最も簡単にまとめました。

1、素数・素因数分解

素数…約数が2つだけの数(1と自分自身でしかわれない数)
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,・・・
30までに10個、50までに15個ある(1は、素数ではない)

素因数分解…自然数を、素数の積で表すこと
(例)30を素数で割ると、
2)30
3)15
//5
30=2×3×5・・・素因数分解

2乗になる数を見つける問題…素因数分解をするとわかる
(例)28にできるだけ小さい自然数をかけて、ある数の平方(2乗)になるようにしたい。
2)28
2)14
//7
28=2×2×7
2は2乗になっているので、7をかければよい(2乗になっていない数の7が答え)。


2、因数分解

因数…A=B×Cのとき、BとCをAの因数といい、AをB×Cの形にすることを因数分解という

式の展開因数分解…式を、()のない形にするのが式の展開、()の式にするのが因数分解

因数分解…(1)共通因数でくくる、(2)乗法公式を利用する、の2つで解く

(1)共通の因数でくくる問題…共通に含まれるものを前に出して、わった残りを()の中に残す
(例)
ax-bx+cx=x(a-b+c)

共通因数 ・・・できるだけ大きい因数を前に出す


(2)乗法公式を利用する問題…

最後が、2乗の数ではないとき・・・乗法公式1を使う
乗法公式1







(例)
公式1の1・・・かけると20になる数で、たすと-12になるのは-2と-10



公式1の2・・・かけると-15y^2になる数で、たすと-2yになるのは-5yと3y



最後が、2乗の数であるとき・・・乗法公式2を使う
乗法公式2







(例)
公式2の1・・・1/9が1/3の2乗だから公式2と見当をつけて、真ん中の2/3が1/3の2倍であることを確認する




公式2の2・・・9x^2が3xの2乗、49が7の2乗だから公式2と見当をつけて、真ん中の42が3×7=21の2倍であることを確認する


項が2つしかない(真ん中の項がない)とき・・・乗法公式3を使う
乗法公式3






(例)
公式の1・・・2乗-2乗で、真ん中の項がないことから、乗法公式3だと見当をつける



3、因数分解の発展問題

(1)共通の因数でくくった後、公式を使う問題…

(例)
発展1の1・・・まず、共通の因数を前に出すことを優先
・・・後ろの()内で乗法公式を使う




発展1の2・・・まず、共通の因数を前に出すことを優先
・・・後ろの()内で乗法公式を使う





(2)置き換えを利用する問題…

(例)
発展2の1・・・2x+1が2か所にあることに注目して、2x+1=Xで置き換えて、因数分解をする

・・・()だけの式ができたら、X=2x+1に戻す





発展2の2・・・x-3=Xで置き換えて、因数分解をする

・・・()だけの式ができたら、X=x-3に戻す







4、式の計算の利用

(1)式の値…先に展開や因数分解をして、その代入する

(例)
a=6.8、b=3.2のとき、次の式の値を求めよ

利用の1・・・先に因数分解をする

・・・因数分解できたら数値を代入して計算する





(2)計算への利用…きりのよい数を思いうかべて、乗法公式を使う

(例)
利用の2・・・79がきりのよい80に近いことから、80-1と書き換える
・・・利用できる乗法公式を使う






(3)式による説明Aは〜、Bは〜、だから〜と記述する

(例)
半径rの円形の土地のまわりに幅aの道がついている。この道の面積をS、道の真ん中を通る円周の長さをLとすると、S=aLとなることを証明しなさい。
利用の3道の面積Sは、円の面積=半径×半径×πを使って
利用の3の1






道の真ん中を通る円周の長さLは、円周=直径×πを使って
利用3の2





S=πa(2r+a)、L=π(2r+a)より、S=aL





(素数・素因数分解・因数分解・式の計算の利用の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)