「方程式の利用」の章を一目で理解できるように、重要事項を最も簡単にまとめました。

1、問題を解くときの順序
(1)何をxにするかを決める(ふつう、問題文の最後で「求めなさい」と書かれているものをxにする)

(2)問題文中で、「文章を等式に表せる部分」を見つけて、等式作る

(3)作った方程式を、もっとも簡単な解き方・方法で解く

(4)求めた方程式の解が答えとしてふさわしいかどうかを確認して、単位をつけて答えを書く


2、個数や値段(合わせて〜個)の問題(基本)
例題1:1本90円の鉛筆と1本120円のボールペンを合わせて20本買ったところ、代金の合計は2040円であった。買った鉛筆の本数を求めよ。

(1)問題文の最後に「買った鉛筆の本数を求めよ」とあるから、買った鉛筆の本数をx本とする

(2)「代金の合計は2040円であった」から、代金を表す等式、90x+120(20-x)=2040を導く
合わせて20本買った」とき、一方はx、もう一方は20-xになる(理解して覚えておくこと)

(3)方程式を解く
90x+120(20-x)=2040
分配法則を使って()を開いて、90x+2400-120x=2040
xをふくむ項を左辺に、数字の項を右辺に移項して、90x-120x=2040-2400
-30x=-360
x=12

(4)答えは、鉛筆12本(ちなみに、ボールペンは「合わせて20本」だから、20-12=8本)


3、残金や貯金や年齢の問題(基本)
例題2:Aは750円、Bは600円持っていたが、AもBも同じ鉛筆を5本ずつ買ったところ、Aの残金はBの残金の2倍になった。鉛筆1本の値段を求めよ。

(1)「鉛筆1本の値段を求めよ」だから、鉛筆1本の値段をx円とする

(2)「Aの残金はBの残金の2倍になった」から、残金を表わす等式、750-5x=2(600-5x)を導く(先に残金750-5x、600-5xを見つけておき、そのあと、「AはBの2倍」で式を作ればよい)

(3)方程式を解く
750-5x=2(600-5x)
分配法則を使って()をとって、750-5x=1200-10x
xをふくむ項を左辺に、数字の項を右辺に移項して、-5x+10x=1200-750
5x=450
x=90

(4)答え、鉛筆1本の値段は90円


4、過不足の問題(基本)
例題3:何人かの子どもにみかんを配るのに、1人に4個ずつ配ると10個余り、5個ずつ配ると4個足りない。子どもの人数とみかんの個数を求めよ。

(1)ものを分配する問題は、人数とものの個数の2つのうち、人数のほうをxとするほうが楽に解ける
この問題でも、子どもの人数をx人とする

(2)「1人に4個ずつ配ると10個余る」から、みかんの個数を表す式は4x+10であり、「5個ずつ配ると4個足りない」から、みかんの個数を表わす式は5x-4である
両方ともみかんの個数を表しているから、等式にして4x+10=5x-4

(3)方程式を解く
4x+10=5x-4
xをふくむ項を左辺に、数字の項を右辺に移項して、4x-5x=-4-10
-x=-14
x=14

(4)答えは、子どもの人数が14人、みかんの個数は、4x+10代入して4×14+10=66個、または、5x-4代入して5×14-4=66個


5、速さの問題(基本)
例題4:弟が家を出発して毎分60mの速さで学校に向かった。弟が出発してから4分後に、兄が毎分140mの速さで同じ道を追いかけた。兄は、出発してから何分後に弟に追いつくか。

(1)「兄が何分後に追いつくか」を求める問題だから、兄が出発してから追いつくまでの時間をx分とする。

(2)兄が進む距離は、距離=速さ×時間より140x
弟が進む距離は、兄より4分前に出発したから(4分多く進んでいるから)、60(x+4)
追いつく」とは、進んだ距離同じだという意味だから、等式140x=60(x+4)ができる

(3)方程式を解く
140x=60(x+4)
分配法則を使って()を開いて、140x=60x+240
xをふくむ項を左辺に移項して、140x-60x=240
80x=240
x=3

(4)答え、兄は出発してから3分後に弟に追いつく


6、割合の問題(基本)
例題5:ある商品に、仕入れ値(原価)の30%の利益を見込んで定価をつけ、大売出しの日に定価から500円値引きして売ったところ、利益は700円であった。この商品の仕入れ値(原価)を求めよ。

(1)「仕入れ値(原価)を求めよ」とあるので、仕入れ値をx円とする

(2)「30%の利益を見込む」から、仕入れ値のxに、もとの割合130%0.3を加えた1.3をかけて1.3x(「30%」は0.3だが、30%利益を見込んだ定価は、それだけ高く売るわけだから1+0.31.3をかけないといけない)
500円値引きしたので、1.3x-500
「利益は700円であった」より、等式1.3x-500-x=700を導く(「利益」は「儲け」だから、売った値段の1.3x-500から仕入れ値のxをひいたものが利益、儲けである)

(3)方程式を解く
1.3x-500-x=700
小数の式だから、両辺を10倍して、13x-5000-10x=7000
数字の項-5000を右辺に移項して、13x-10x=7000+5000
3x=12000
x=4000

(4)答え、仕入れ値は4000円


7、食塩水の問題(基本)
例題6:12%の食塩水400gに4%の食塩水を混ぜて、9%の食塩水を作りたい。4%の食塩水を何g混ぜればよいか。

(1)4%の食塩水をxgとする(9%の食塩水は、400gとxgを合わせた(400+x)gになる)

(2)食塩水にふくまれる食塩を表わす等式、400×0.12+0.04=(400+x)×0.09を導く(食塩を表す式は食塩水×%であり、食塩水×%+食塩水×%=食塩水×%の式を作る)
食塩水









(3)方程式を解く
400×0.12+0.04=(400+x)×0.09
この式の両辺に100をかけて、400×12+x×4=(400+x)×9
分配法則を使って()を開いて、4800+4x=3600+9x
移項して、4x-9x=3600-4800
-5x=-1200
x=240

(4)答え、4%の食塩水は240g


8、比例式を使う問題(基本)
例題2:5cmの長さが、実際の距離10kmを表している地図がある。この地図で8cm離れた2つの地点の、実際の距離は何kmか。

(1)「実際の距離は何kmか」だから、実際の距離をxkmとする

(2)地図の5cmの長さ:実際の距離10kmの比と、地図の8cmの長さ:実際の距離xkmの比が等しいので、比例式5:10=8:xを作る

(3)方程式を解く
5:10=8:x
外側の項の積と内側の項の積は等しいから、5x=8×10
5x=80
x=16

答え、実際の距離は16km





(数学の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。)