働きアリ

勉強をしている子どもたちが、悩み、知りたい、理解したいと思いながら、今までは調べる方法がなかった事柄を、必要かつ十分な説明でわかりやすく記述したサイトです

小学生

contents 小学校 算数 目次

Check青ブログ『働きアリ』掲載記事のうち、算数の目次です。
目次の項目にマウスをあててクリックすると、その記事を表示します。



 ///算数////////////////////////////////////////

 算数・数学の言葉 原価・仕入れ値、定価、売り値・売価、利益・値引き

 小 全学年 0をふくむ、かけ算と割り算
 小 全学年 3でわれる数の見つけ方(4・6・8・9でわれる数)
 小 全学年 +-×÷( )を入れて答えが10になる式をつくる問題
 小5・小6 計算を楽にするために(小学生と分配法則)

《世界一やさしい》 円周率と、円周の問題の解き方
 小5 整数 素因数分解(連除法・はしご算)と最大公約数・最小公倍数
 小5 整数 3個以上の数の素因数分解(連除法・はしご算)と最大公約数・最小公倍数
 小5 割合 割合・比べる量・もとにする量
 小5 割合 割合、百分率・歩合は、「〜倍」をつけると超簡単
 小5 割合 利益と割引の問題を超簡単に解く方法

《世界一やさしい》 比例

《世界一やさしい》 反比例
《世界一やさしい》円の面積を求める問題の解き方
 小6 対称な図形 点対称な図形のかき方
 小6 単位量あたり 「単位量あたりの大きさ」を求める問題
 小6 速さ 速さの公式、キ・ハ・ジはキ・恥
 小6 速さ 速さの問題はこれで解ける
 小6 速さ 速さの問題をもっとも簡単に解く方法
 小6 速さ 池のまわりで出会い追いつく問題の考え方
 小6 分数 分数にかけると(分数をわると)整数になる分数
 小6 分数 分数と時間
 小6 分数 分数と速さ
 小6 超簡単 比例 (小学算数)
 小6 超簡単 反比例(はんぴれい) (小学算数)
 小6 おうぎ形の面積を求める3つの方法
 小6 円の問題を解くときに使う3つの技(全体-白、分配法則、移動)
 小6 メートル法と単位
 小6 縮図と拡大図 縮尺

 小 中学受験 計算(1) 計算問題を正確に速く解く
 小 中学受験 計算(2) くふうをしてから解く計算問題
 小 中学受験 計算(3) 未知数を求める計算問題(還元算)
 小 中学受験 計算(4) 約束記号の問題
 小 中学受験 図形(1) 角度の問題は、等しい角を見つけて書き込む
 小 中学受験 図形(2) 面積は、三角形かおうぎ形にして求める
 小 中学受験 図形(3) となりあった三角形の面積は、比で求める
 小 中学受験 図形(4) 形が同じ(相似の)三角形を見つけて、比で解く
 小 中学受験 図形(5) 実は簡単、図形の移動の問題
 小 中学受験 図形(6) 円の中の正方形
 小 中学受験 図形(7) 積み重ねた立方体の表面積
 小 中学受験 図形(8) 斜線部分の面積の求め方
 小 中学受験 図形(9) 容器にものを入れる問題(公式「体積=底面積×高さ」の応用)
 小 中学受験 図形(10) 正三角形・正六角形と面積(同じ形に分けて考える問題)
 小 中学受験 図形(11) 横にした円すいが転がる問題
 小 中学受験 図形(12) 円すいの展開図の中心角と母線・半径
 小 中学受験 図形(13) 円すいの側面積が1秒で求められる公式
 小 中学受験 図形(14) 見取図と展開図の関係

 小 中学受験 和差算 発展問題
 小 中学受験 平均算 発展問題
 小 中学受験 つるかめ算 発展問題
 小 中学受験 年齢算 発展問題
 小 中学受験 消去算 発展問題
 小 中学受験 相当算 発展問題
 小 中学受験 還元算 発展問題
 小 中学受験 のべ算・帰一算 発展問題
 小 中学受験 ニュートン算 発展問題
 小 中学受験 分配算 分配算には3種類のものがある
 小 中学受験 分配算 線分図をかくときのコツ
 小 中学受験 倍数算 2つの比が出てくる問題の解き方
 小 中学受験 仕事算 2つの解き方
 小 中学受験 植木算 発展問題
 小 中学受験 方陣算 発展問題
 小 中学受験 旅人算 発展問題
 小 中学受験 通過算 発展問題
 小 中学受験 流水算 発展問題
 小 中学受験 時計算 発展問題
 小 中学受験 場合の数 発展問題

 小 中学受験 文章題のコツ(1) ほとんどの特殊算は1つの式で解ける
 小 中学受験 文章題のコツ(2) 過不足算・差集め算の応用問題
 小 中学受験 文章題のコツ(3) 比や割合の問題は、1の量を求める
 小 中学受験 文章題のコツ(4) 公倍数を利用して、簡単に解く
 小 中学受験 文章題のコツ(5) 速さの問題を逆比で解く
 小 中学受験 文章題のコツ(6) 差集め算・つるかめ算で解く速さの問題
 小 中学受験 文章題のコツ(7) 分配算を、線分図より簡単な図で解く
 小 中学受験 文章題のコツ(8) 相当算を、分数を使わずに解く
 小 中学受験 文章題のコツ(9) 食塩水の問題は、2種類ある
 小 中学受験 文章題のコツ(10) 時計算は、図の書き方を工夫する
 小 中学受験 文章題のコツ(11) 1から10、1から100、1からnまでの整数の和
 小 中学受験 文章題のコツ(12) 集合(重なり)の問題とベン図

 中学受験の難問 規則性
 中学受験の難問 数列
 中学受験の難問 角度を求める問題
 中学受験の難問 90°30°60°の直角三角形と辺の比

 エッセイ 「式のどこが同じ単位か」の観点から算数の問題を分類する
 エッセイ 立式と途中式は絶対必要、筆算は不要
 エッセイ 塾と学校が逆転
 エッセイ 親の善意が計算力を弱くする場合も…
 エッセイ 5年生で起こる算数の一大革命
 エッセイ エイプリル・フールの大発見(代金・速さ・密度・割合が同じ方法で解ける)

《世界一やさしい》 円の面積を求める問題の解き方

小学6年生で習う、円の面積の問題の解き方を世界一やさしく解説します。

今から学ぶこと

1、円の面積を求める式…円の面積=半径×半径×3.14
2、円の一部の面積を求める式…円の面積の一部=半径×半径×3.14×中心の角/360°
3、色(かげ)がついた部分の面積の求め方…全体-白い部分



これだけは理解しよう

1、円の面積は、半径×半径×3.14の式で求めることができる
円の面積は、半径×半径×3.14の式で求められます。

例題1:次の円の面積を求めなさい。
(1)半径3cmの円
円周2






(2)直径10cmの円

円周1







(解答)
(1)円の面積を求める式、半径×半径×3.14にあてはめて、円の面積=3×3×3.14=28.26cm2

(2)まず、半径の長さを先に求める。半径は直径の半分だから、10÷2=5cm。
これを円の面積を求める式、半径×半径×3.14にあてはめて、円の面積=5×5×3.14=78.5cm2

(参考)
何度か問題を解くうちに、3.14のかけ算の答えが頭に残っていきます。
2×3.14=6.28
3×3.14=9.42
4×3.14=12.56
5×3.14=15.7


答えをぼんやりとでも覚えておくと、計算間違いを減らすことができます。


例題2:次の問いに答えなさい。
(1)円周の長さが43.96cmの円の面積を求めなさい。

(2)面積が113.04cm2の円の半径を求めなさい。


(解答)
(1)まず、5年生で習った、円周=直径×3.14の式を使う。
円周÷3.14で、直径を求めることができる。
直径=43.96÷3.14=14cm。
直径が14cmだから、半径は7cm。
円の面積=半径×半径×3.14
=7×7×3.14
=153.86cm2

(2)円の面積=半径×半径×3.14の式から、面積÷3.14で、(半径×半径)がわかる。
半径×半径=円の面積÷3.14
=113.04÷3.14
=36
半径×半径=36より、同じ数をかけて36になる数を見つける。
6×6=36だから、半径は6cm


(参考)
4=2×2
9=3×3
16=4×4
25=5×5


のような、同じ数をかけた積である4、9、16、25、36、49…平方数といいます)は、数学でしばしば出現します。


2、円の一部(おうぎ形といいます)の面積を求めるときは、円の何分の何になるかを、式の最後につけ加える
円の一部の面積を求めるときは、「円全体のどれだけにあたるか」を考えたら求めることができます。

360円全体の、中心をぐるっとまわる角度は360°です。







90だから、円の一部が「円全体のどれだけにあたるか」は、中心の角が円全体360°のどれだけにあたるかを、中心の角/360°の式をつけ加えることで求めたらよいことになります。

左の図形だと、円全体6×6×3.14の式に、中心の角/360°をつけ加えたらよいわけです。
6×6×3.14×90/360
=6×6×3.14×1/4(90/360の約分を先にしておきます)
=3×3×3.14(6×6と1/4の約分もしておいたほうが計算がずっと楽になります)
=28.26cm2


例題3:次の図形の面積を求めなさい。
(1)

45






(2)
30






(3)
135








(解答)
(1)8×8×3.14×45/360
=8×8×3.14×1/8(45/360を先に約分する)
=1×8×3.14(約分できるものは先に約分)
=25.12cm2

(2)6×6×3.14×30/360
=6×6×3.14×1/12(30/360を先に約分する)
=1×3×3.14(約分できるものは先に約分)
=9.42cm2

(3)6×6×3.14×135/360
=6×6×3.14×3/8(135/360を先に約分する)
=3×3×3.14×3/2(約分できるものは先に約分)
=3×3×3.14×3÷2(分母が残るので、かけ算を先にして)
=84.78÷2(最後にわり算をする)
=42.39cm2


3、色(かげ)がついた部分の面積の求め方…全体-白い部分
円の面積に限らず、色(かげ)がついた部分の面積は、全体の面積から、不要な白い部分の面積を引いて求めるのが原則です。

例題4:次の図形の、かげをつけた部分の面積を求めなさい。
(1)
かげ1(解答)
全体-白い部分
=半径2cmの円-半径1cmの円
=2×2×3.14-1×1×3.14
=(2×2-1×1)×3.14(分配法則を使うと計算がずっと楽になる)
=3×3.14
=9.42cm2


(2)
かげ2(解答)
白い部分は、4つ集めると1つの円になる。
全体-白い部分
=1辺8cmの正方形-半径4cmの円
=8×8-4×4×3.14
=64-50.24
=13.76cm2



(3)
かげ3(解答)
全体-白い部分
=半径10cmの円の4分の1-底辺10cmで高さ10cmの三角形
=10×10×3.14×1/4-10×10÷2
=25×3.14-50
=78.5-50
=28.5cm2


(4)
かげ4










(解答)
いろいろな解き方があるが、1つ上の(3)の問題の解き方を応用すると最も簡単に解ける。
かげ4の2
正方形の対角線を1本引くと、(3)の図形が2つ分だということがわかる。

=(半径10cmの円の4分の1-底辺10cmで高さ10cmの三角形)×2
=(10×10×3.14×1/4-10×10÷2)×2
=(25×3.14-50)×2
=(78.5-50)×2
=28.5×2
=57cm2



これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、円の面積を求める式…円の面積=半径×半径×3.14
2、円の一部の面積を求める式…円の面積の一部=半径×半径×3.14×中心の角/360°
3、色(かげ)がついた部分の面積の求め方…全体-白い部分



(参考)
円の面積が、半径×半径×3.14で求められる理由・・・

例えば、半径が10cmの円を考えてみましょう。
円の面積の公式
この円を、30°きざみに半径で切り分けます。

切り分けた12個の図形を、下の図のように交互に並べます。
円の面積の公式2
交互に並べた左の図形は、平行四辺形に近い形をしています。
平行四辺形の面積は、底辺×高さの式で求めることができますが、この平行四辺形に近い図形では、底辺は、円周(=円のまわりの長さ)の半分に近い長さであること、高さ半径の長さと等しいことがわかります。

さらに小さく、15°きざみで切り分けて、交互に並べます。
円の面積の公式3
やはり、平行四辺形に近い形で、底辺円周(=円のまわりの長さ)の半分に近い長さであること、高さ半径の長さと等しいことがわかります。

そして、小さい角度で切れば切るほど、底辺に当たる部分が直線に近くなり、底辺の長さが円周の半分の長さに近くなっていくこともわかります。

以上の考察から、さらにもっともっと小さい角度で円を切り分けていけばいくほど、円の面積は、底辺円周の半分で、高さが円の半径である平行四辺形の面積と同じになっていくと考えることができるはずです。

円の面積=円を切り分けて並べた平行四辺形の面積
=底辺×高さ
ところが、底辺円周の半分高さ半径だから、
=円周の半分×半径
円周は直径×3.14で求められるから、円周の半分=直径×3.14÷2、
=直径×3.14÷2×半径
直径は半径×2だから、
=半径×2×3.14÷2×半径
=半径×3.14×半径
=半径×半径×3.14



(算数のさらに詳しい説明は『小学校算数・目次』からたどってご覧ください。)

《世界一やさしい》 円周率と、円周を求める問題の解き方

小学5年生で習う円周の問題の解き方を、世界一やさしく解説します。

今から学ぶこと

1、円周率…円周(円の周りの長さ)は直径の約3.14倍であり、この3.14…のことを円周率という
2、円周の長さを求める式…円周=直径×3.14
3、円周の一部の長さを求める問題…円周の何分の一かを先に求めてから、円周をわる



これだけは理解しよう

1、円周(円の周りの長さ)は、直径の約3.14倍である
円の周りの長さは、直径約3.14倍であることがわかっています。

円周直径何倍かを表す数を円周率といいます。
どんな円でも、円周は直径の約3.14倍になります。

円周率を簡単に求めるには、筒(つつ)型の容器を用意し、筒の周囲に糸をまきつけて糸の長さを測り、次に、直径の長さをものさしで測り、糸の長さを直径の長さでわって求めることができます(完全に正確に測ることは不可能なので、正確な円周率ではなくて、だいたいの数しかわかりません)。

円周率を正確に求める式はいくつかあり(高校以上の数学で習います)、円周率は、不規則な数字が永遠に続く小数であることがわかっています。
円周率は、
3.1415926535…と不規則な数字が永遠に続く小数であり、現在、コンピューターを使って、ほぼ小数点以下10兆けたまでの数値が判明しています。

小学生は、円周率として、実際の数値に近い値である3.14倍を使って問題を解きます。


2、円周の長さを求めるは、円周=直径×3.14
円周の長さが直径の3.14倍だとわかっているので、円周の長さは、円周=直径×3.14の式にあてはめると求められます。

例題1:次の円の円周の長さを求めなさい。
(1)直径10cmの円
円周1






(2)半径3cmの円

円周2







(解答)
(1)円周を求める式、円周=直径×3.14の式にあてはめて、円周=10×3.14=31.4cm

(2)まず、直径の長さを先に求める。直径は半径の2倍だから、3×2=6cm。
これを円周=直径×3.14の式にあてはめて、円周=6×3.14=18.84cm


例題2:円周の長さがわかっているとき、次の問いに答えなさい。
(1)円周の長さが15.7cmの円の直径を求めなさい。
直径






(2)円周の長さが25.12cmの円の半径を求めなさい。
半径








(解答)
(1)円周=直径×3.14だから、円周÷3.14で直径の長さが求められる。
15.7÷3.14=5cm

(2)まず、円周÷3.14=直径の式を使って、直径を求める。
25.12÷3.14=8cm(直径)
半径は直径の半分の長さだから、半径は8÷2=4cm


3、円周の一部(弧(こ)といいます)の長さを求めるときは、円周の何分の一になるかを先に求めてから、円周をわる
円周の一部の長さを求めたいときは、その図形が円全体の何分の一にあたるかを先に求めておきます。

180度360度例えば、円の中心をはさむ半径の角度が180°のとき(これを半円といいます)、円の中心をぐるっとまわる角度は360°ですから、その図形は、360÷180=2より、円の2分の1の大きさだとわかります。



90度また、円の中心をはさむ半径の角度が90°なら、360°÷90=4より、その図形は円の4分の1です。



例題3:次の各問いに答えなさい。
(1)次の図形の、円周の一部にあたる部分の長さを求めなさい。
45度






(2)次の図形のまわりの長さを求めなさい。

30度





(解答)
(1)(1)の図形は、360°÷45°=8より、円の8分の1の図形。
だから、円周の一部にあたる部分は、円周全体の8分の1。
また、直径は半径8cmの2倍の16cm。
円周の8分の1だから、直径×3.14÷8=16×3.14÷8=16÷8×3.14=2×3.14=6.28cm

(2)「まわりの長さ」とは、円周の一部だけではなくて、まわり全部の長さのことだから、半径の部分もふくむ。
まず、円周の一部にあたる部分の長さを求める。
(2)の図形は、直径が6×2=12cmで、360÷30=12だから、円全体の12分の1である。
円周=直径×3.14より、円周の一部にあたる部分の長さは12×3.14÷12で求められる。
12×3.14÷12=12÷12×3.14=1×3.14=3.14cm。
円周の一部にあたる部分の長さは3.14cm。

まわりの長さは、この長さに半径2つ分が加わるから、3.14+6+6=15.14cm


(参考)
円周を求める問題では、計算の工夫をすると、解く時間も短くてすみ、間違いも減ります。
例えば、16×3.14÷8を計算するとき、正直に16×3.14をしてから、その答えを8でわるのは遠回りです。
16×3.14÷8を16÷8×3.14と順序をかえると、16÷8=2なので、2×3.14の計算だけをしたらよいことになり、とても計算が楽になります。




例題4:運動場に、図のようなトラックがあります。このトラックのまわりにそって走ると何m走ることになりますか。
トラック







(解答)
トラックのうち、直線ではない部分を2つ合わせると1つの円の円周になる。
円周の部分の長さは、円周=直径×3.14より、50×3.14=157m。
この長さに、直線部分の50m×2=100mを加えると、100+157=257m


例題4:図の四角形は1辺が8cmの正方形です。色をぬった部分のまわりの長さを求めなさい。
弓形






(解答)
色をぬった部分のまわりは、円周の一部であり、2つの部分を合わせるとちょうど円の半分になる。
半径8cmだから、直径は8×2=16cm。
直径16cmの円の円周の長さの半分だから、16×3.14÷2=16÷2×3.14=8×3.14=25.12cm



これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、円周率…円周(円の周りの長さ)は直径の約3.14倍であり、この3.14…のことを円周率という
2、円周の長さを求める式…円周=直径×3.14
3、円周の一部の長さを求める問題…円周の何分の一かを先に求めてから、円周をわる





(算数のさらに詳しい説明は『小学校算数・目次』からたどってご覧ください。)

《世界一やさしい》 反比例

小学6年生で習う反比例を、世界一やさしく解説します。


今から学ぶこと

1、(反比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方は1/2、1/3…
2、(反比例の)y=決まった数÷x
3、(反比例のグラフなめらかな曲線
4、(反比例の文章題
×かけて全体を求めてから、÷わる


これだけは理解しよう

1、反比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方は1/2、1/3…
2つの数、xとyがあって、xが2倍、3倍、…になると、逆にyは1/2、1/3、…になる関係を、反比例といいます。

(例)24Lの水が入る水そうに水を入れるとき、1分間に入れる水の量をxL、水そうを一杯にするのにかかる時間をy分とします。
反比例の表1分間に入れる水の量が1L、2L、3L、…と増えると、かかる時間のほうは24分、12分、8分…と、1/2、1/3、…に減っていきます。

このとき、時間は、(1分間に入れる)水の量に反比例するといいます。


例題1:次のことがらのうち、yがxに反比例するものをいいなさい。
(1)1mの重さが20gの針金の、長さxmと重さyg
(2)面積12cm2の長方形の、縦の長さxcmと横の長さycm
(3)正方形の、1辺の長さxcmと周りの長さycm
(4)18kmの道のりを進むとき、進む速さ分速xkmとかかる時間y分


(解答)
(1)長さが2倍、3倍…になると、重さも2倍、3倍…になるから、比例であって、反比例ではない
(2)縦の長さが2倍、3倍…になると、横の長さは逆に1/2、1/3…になるから、反比例
(3)1つの辺の長さが2倍、3倍…になると、周りの長さも2倍、3倍…になるから、比例であって、反比例ではない
(4)進む速さが2倍、3倍…になると、かかる時間は逆に1/2、1/3…になるから、反比例


2、(反比例の)y=決まった数÷x
反比例の式は、y=決まった数÷xと表わす決まりになっています。
「決まった数」は、自分で見つけないといけません。

では、決まった数はどうしたら見つかるでしょうか?

24Lの水が入る水そうに水を入れるとき、1分間に入れる水の量をxL、水そうを一杯にするのにかかる時間をy分とすると、
反比例の表2表の上の水の量と、表の下の時間をかけると、いつも積は24になっていることに気づいてください。
この24が、「決まった数」です。
このとき、式は、y=24÷xとなります。

つまり、「決まった数」は、x×yで求められます。

さらに、「決まった数」は、水そうに入る水の量全体です。

例題2:yとxの関係を式に表しなさい。
(1)
面積12cm2の長方形の、縦の長さxcmと横の長さycm
(2)18kmの道のりを進むとき、進む速さ分速xkmとかかる時間y分

(解答)
(1)縦×横の答えがいつも12cm2になる関係だから、y=12÷x
(2)分速×時間の答えがいつも18kmになる関係だから、y=18÷x


3、(反比例のグラフなめらかな曲線
反比例する2つのものはグラフに表すことができます。

(例)面積12cm2の長方形の、縦の長さxcmと横の長さycmの関係をグラフに表すと、
反比例のグラフ

縦1cmで横12cm、縦2cmと横6cm、縦3cmと横4cm、縦4cmと横3cm、縦6cmと横2cm、縦12cmと横1cmの点を先に打ち、それを通るなめらかな曲線を引きます。

なめらかな曲線ですから、定規を使わないで手だけで線をかいていきます。

グラフの左端の線、下端の線に、どんどん近づきますが、交わってはいけません。
また、左端の線、下端の線に近づくだけで、離れることはありません。
反比例のグラフ2













反比例のグラフは、左端と下端にどんどん近づく、なめらかな曲線になります。


4、(反比例の文章題×かけて全体を求めてから、÷わる
反比例の式が、y=決まった数÷xなので、先にかけ算で、決まった数(=全体)を見つけてから、その数をわると、問題を解くことができます。

例題3:自分の家から遊園地へ行くのに、時速24kmで進むと2時間かかります。
(1)時速16kmで進むと、何時間で着きますか。
(2)家を出てから1時間30分で着くには、時速何kmで進まないといけませんか。


(解答)
先に、24×2を計算して、家から遊園地までの道のり全体を求めておきます。
24×2=48km
家から遊園地までの道のりは48kmです。
これを使って、問題を解きます。

(1)48kmの道のりを時速16kmの速さで行くので、48÷16=3時間

(2)48kmの道のりを1時間半(=1.5時間)で行くので、48÷1.5=時速32km




これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、(反比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方は1/2、1/3…
2、(反比例の)y=決まった数÷x
3、(反比例のグラフなめらかな曲線
4、(反比例の文章題
×かけて全体を求めてから、÷わる




(算数のさらに詳しい説明は『小学校算数・目次』からたどってご覧ください。)

《世界一やさしい》 比例

小学6年生で習う比例を、世界一やさしく解説します。


今から学ぶこと

1、(比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方も2倍、3倍…
2、(比例の)y=決まった数×x
3、(比例のグラフ0を通る直線
4、(比例の文章題
÷わって1つ分を求めてから、計算する


これだけは理解しよう

1、(比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方も2倍、3倍…
2つの数、xとyがあって、xが2倍、3倍、…になると、yも2倍、3倍、…になる関係を、比例といいます。

(例)1本60円の鉛筆x本の代金がy円のとき、鉛筆の本数が2本、3本…と増えると、代金も60円、120円…と、ともに2倍、3倍、…になります。
このとき、代金は(鉛筆の)本数に比例するといいます。
比例の表





片方が増えるともう片方も増える関係のうち、同じように2倍、3倍に増えるものだけが比例です。

例題1:次のことがらのうち、yがxに比例するものをいいなさい。
(1)1mの重さが20gの針金の、長さxmと重さyg
(2)40個の菓子を分けるとき、人数x人と1人分の個数y個
(3)正方形の、1辺の長さxcmと周りの長さycm
(4)1日24時間のうち、昼の時間xと夜の時間y


(解答)
(1)長さが2倍、3倍…になると、重さも2倍、3倍…になるから、比例
(2)人数が増えると、1人分の個数は減るから、比例ではない
(3)1つの辺の長さが2倍、3倍…になると、周りの長さも2倍、3倍…になるから、比例
(4)昼の時間が増えると、夜の長さは短くなるから、比例ではない


2、(比例の)y=決まった数×x
比例の式は、y=決まった数×xと表わす決まりになっています。
「決まった数」は、自分で見つけないといけません。

では、決まった数はどうしたら見つかるでしょうか?

1本60円の鉛筆x本の代金がy円のとき、
表の下の代金は、いつ決まった数も、表の上の本数の60倍になっていることに気づいてください。
この60が、「決まった数」です。
このとき、式は、y=60×xとなります。

また、「決まった数」は、y÷xで求められます。

さらに、「決まった数」は、xの一つ分の量です。

例題2:yとxの関係を式に表しなさい。
(1)1mの重さが20gの針金の、長さxmと重さyg
(2)正方形の、1辺の長さxcmと周りの長さycm

(解答)
(1)1mの重さが20gだから、y=20×x
(2)正方形の周りの長さは1つの辺の長さの4倍だから、y=4×x


3、(比例のグラフ0を通る直線
比例する2つのものはグラフに表すことができます。

(例)1mの重さが20gの針金の、長さxmと重さygの関係をグラフに表すと、
グラフ1

1mで20g、2mで40g、3mで60g、4mで80g、5mで100gの点を先に打ち、それを通る直線を引きます。

0mのときは重さも0gですから、線は0まで引かないといけません。
また、グラフの端まで線を引きます。




(例)正方形の、1辺の長さxcmと周りの長さycmの関係をグラフに表すと、
グラフ2










このように、比例のグラフは、必ず、0を通る直線になります。


4、(比例の文章題÷わって1つ分を求めてから、計算する
比例の式が、y=決まった数×xなので、先にわり算で、決まった数(=一つ分)を見つけると、問題を解くことができます。

例題3:針金があり、5mの重さが60gです。
(1)この針金20mの重さは何gですか。
(2)この針金3kgの長さは何mですか。


(解答)
先に、60÷5を計算して、1つ分、1m分の重さを求めておきます。
60÷5=12
1mの重さは12gです。
これを使って、問題を解きます。

(1)1mで12gの針金が20mもあるから、12×20=240g

(2)1mで12gの針金が3kg(=3000g)もあるので、3000÷12=250m



これだけ、理解して覚えておけば大丈夫

1、(比例とは)一方が2倍、3倍、…のとき、他方も2倍、3倍…
2、(比例の)y=決まった数×x
3、(比例のグラフ0を通る直線
4、(比例の文章題
÷わって1つ分を求めてから、計算する




(算数のさらに詳しい説明は『小学校算数・目次』からたどってご覧ください。)

math 見取り図と展開図の関係 (小学算数)

塾生にはいつも偉そうに教えていますが、私にも苦手な問題がいくつかあります。展開図の問題もその一つです。


例題1:左の立方体の見取り図の3つの面に書かれたA、B、Cのアルファベッ見取図トを、下の展開図の正しい場所に、向きも考えて正しく書き入れなさい。
展開図の1









(解き方と解答)
見取り図の頂点に自分で記号をつけておくと、確信をもって正解にたどりつくことができます。
見取図の2
見取図に記号を書き込んだら、見取図を参考に、展開図のAが書かれた面に記号を記入していきます。
(1)展開図の1文字Aの上側がアエ、左がアイ、下がイウ、右がエウです。

次に、見取図のBの書かれている面の上の辺がイウであることを参考に、展開図のBの書かれているであろう面に記号を記入していきます。
このとき、文字Aの下がイウで、そのイウが文字Bの上であることと、見取図の文字Bの左がイカ、右がウキであることが参考になります。


(1)展開図の2








最後に、見取図で記号イウが文字Bの上であることを確認して、展開図に文字Bを記入します。
(1)展開図の3












同じように、見取図でCの書かれている面の上の部分がウエであることを(1)展開図の4手がかりに展開図上でCの面を見つけて、その面に記号ウキクエを書き込み、その記号を参考にCを記入します。










(2)も同じように、見取図に書き込んだ記号を参考に、展開図に記号を記入していくと、(2)展開図正解に到達できます。











例題2:図は立方体の見取図とその展開図です。辺ABの真ん中の点を立方体M、辺BCの真ん中の点をNとし、3点M、N、Fを結ぶとき、この線を展開図に書き入れなさい。


展開図
立方体展開図
















(解き方と解答)
やはり見取図を参考に、先に展開図にA〜Hの記号を記入してから考えます。
このとき使える技は、同じ面向かい合う辺に注目することです。
まず、BCの向かい合う辺であるFGを記入します。
立方体展開図の2
そうすると、CGと向かい合うDHを記入できます。

さらにそのDHの向かい合う辺であるAE、GHと向かい合う辺であるFE、そして最後にFEと向かい合う辺BAというふうに、見取図を見て同じ面の向かい合う辺に着目すると、すべての頂点に正確に記号を記入することができます。





立方体展開図の3
















展開図にA〜Hの記号が記入できたら、問題に合わせて、ABの真ん中にM(2か所)、BCの真ん中にNを記入して準備完了です。
立方体展開図の4

















見取図を参考に、MとN、MとF、NとFを結びます。
立方体展開図の5





















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science 輪軸(りんじく)

半径の異なる2つの輪を組み合わせ、同じ軸(中心)のまわりを回転するようにした道具を輪軸(りんじく)といいます。
輪軸
滑車てこのはたらきの両方を備えた道具です。

(1)滑車と同じはたらき
大きい輪に下向きに力を加えると、小さい輪につるされたものを逆の向きに持ち上げることができます。

(2)てこと同じはたらき
半径(中心からの距離)の小さい輪につりさげたおもりを、大きい輪を小さい力で引くことで持ち上げることができます。

輪軸は、滑車とてこの両方の性質をもった道具なので、滑車の原理てこの原理のどちらかを使って問題を解くことができます(滑車の原理についてはこちら、てこの原理についてはこちらを参照)。


例題1:図1でひもをひく力Aの大きさ、図2で輪軸の半径Bの長さはそれぞれいくらですか。
輪軸例題1(図1の解き方)
軸(中心)が支点ですから、てこの原理の、おもり×支点までの距離=おもり×支点までの距離を使って解きます。
輪軸を反時計まわりにまわそうとする60×10と、輪軸を時計まわりにまわそうとするA×30が同じになればよいわけです。
60×10÷30=20
答えは20gの力です。

おもり×半径(支点までの距離)=おもり×半径(支点までの距離)で、積が一定だから、反比例と考えて解くこともできます。
半径が10:30=1:3で、おもりの比は逆の3:1になるから、3:1=60:A
A=20gです。

(図2の解き方)
同じように考えて、25×20=10×Bだから、25×20÷10=50、答えは50cmです。
または、25:10=5:2の逆の比になるから、2:5=20:Bより、B=50cmでもかまいません。




輪軸と仕事の原理

輪軸でも、仕事の原理力×動いた距離は一定で変わらないが成り立ちます。

例題2:図1、図2で、おもりを10cm引き上げるには、ひもを何cm引かないといけませんか。
輪軸例題2(図1の解き方)
小さい輪で、60gのおもりが10cm動いたので、仕事の量は60×10=600。
仕事の原理より、大きい輪で20×ひもを引いた距離が600になればよい。
60×10=20×□
60×10÷20=30cmが答えです。

おもりの大きさが60:20=3:1だから、ひもの動く距離は逆比の1:3と考えて、30cmと考えてもかまいません。

別の考え方として、回転する角度が同じだから、おもりが移動する距離は半径に比例すると考えることもできます。
半径が1:3だから、おもりが移動する距離(=糸を引く距離)も1:3。
10:□=1:3だから、30cm。


(図2の解き方)
25×10=10×ひもを引く距離だから、25×10÷10より、答えは25cm。
または、おもりの大きさ25:10=5:2の逆の比になるから、10:□=2:5より、25cm。
または、同じ角度で回転するから半径の比=ひもを引く距離。10:□=2:5より、25cm。


複雑な問題の解き方

例題3:半径が5cmの小さい輪、半径が10cmの中くらいの輪、半径が輪軸例題320cmの大きい輪の、3つの輪をもった輪軸があります。図のように、小さい輪に18gのおもり、中くらいの輪に29gのおもりをつけて、大きい輪をAの力で引いたところ、輪軸はつり合いました。
(1)大きい輪を引く力Aの大きさはいくらですか。
(2)大きい輪のひもを40cm上に引いたとき、18gのおもり、29gのおもりはそれぞれどちらの向きに何cm動きますか。

(3)輪軸を支えている支柱がてんじょうを引く力はいくらですか。ただし、輪軸の重さは考えないものとします。


(解き方)
(1)大きい輪を引く力Aの大きさはいくらですか。
やや複雑な問題では、てこの問題と同じで、どちらにまわそうとする力なのかを確認しておく必要があります。
18gのおもりは、反時計まわりに輪軸をまわそうとする力です。
29gのおもりは、時計まわりにまわそうとする力です。
大きい輪に加えた力Aは、反時計まわりにまわそうとする力です。
この3つの力の間に、おもり×支点までの距離=おもり×支点までの距離
の関係が成り立ちます。

だから、18×5+A×20=29×10。
90+A×20=290
A×20=200
A=10gです。


(2)大きい輪のひもを40cm上に引いたとき、18gのおもり、29gのおもりはそれぞれどちらの向きに何cm動きますか。
大きい輪を上に引くと、輪軸は反時計まわりに回転します。すると、18gのおもりは下に、29gのおもりは上に、動きます。

次に、おもりが動く距離ですが、この問題の場合、「回転する角度が同じだから移動する距離は半径に比例する」を使うのが一番簡単でしょう。
輪の半径は、5:10:20=1:2:4でした。

18gのおもりの動く距離は、□:40=1:4より10cm。

29gのおもりの動く距離は、□:40=2:4より20cm。


(3)輪軸を支えている支柱がてんじょうを引く力はいくらですか。ただし、輪軸の重さは考えないものとします。
滑車の問題と同じで、上へ引く力と下に引く力がつりあえばよいと考えます。

この問題では、輪軸全体を下に引く力は18gと29gです。
輪軸全体を上に引く力は10gでした。

10+□=18+29より、輪軸を支えている支柱がてんじょうを引く力は37gです。



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social studies 2012年度入試出題の時事問題 青森から鹿児島まで新幹線つながる

2010年12月に東北新幹線新青森駅(青森県)が開業したのに続き、2011年3月12日に博多駅(福岡県)新八代駅(熊本県)間が開通したことにより、青森県から鹿児島県までが新幹線でつながりました。


東北新幹線が新青森駅まで開通

大宮駅〜盛岡駅(1982年)、大宮駅〜上野駅(1985年)、上野駅〜東京駅(1991年)、盛岡駅〜八戸駅(2002年)の開業を経て、2010年12月4日に八戸駅〜新青森駅が開通しました。

また、2011年3月5日、新型車両の「はやぶさ」の運行が始まり、国内最高時速320kmで東京新青森間が3時間5分で結ばれることになりました。

2011年3月11日の東日本大震災では、全区間で運転を中止(新幹線乗客の死傷者はなし)したあと、「つなげよう、日本。」のキャンペーンのもと復旧が進み、4月29日に全線で運転が再開されました。

さらに、新青森駅から青函トンネルを通り、函館を経て札幌につながる北海道新幹線の建設工事も進んでいます。


九州新幹線の全線が開通

3月12日に開通したのは、九州新幹線鹿児島ルート博多鹿児島中央)と長崎ルート(博多駅〜長崎駅)のうち、鹿児島ルートです。

2004年の新八代駅〜鹿児島中央駅の開業についで、2011年3月12日に新八代博多が開業し、博多駅から鹿児島中央駅までの全線が開通しました。

従来の列車である「つばめ」「さくら」と、新たに導入された「みずほ」が路線上を走っています。
新大阪駅〜鹿児島中央駅間の最短所要時間は3時間45分、博多駅〜鹿児島中央駅は1時間19分です。


新幹線の路線
新幹線網






















新幹線の始発駅・終着駅、開業年、運行している列車、通過する都道府県を並べると次のようになります。

東海道新幹線
東京駅-新大阪
1964年全線開業
列車…のぞみ・ひかり・こだま
東京-神奈川-静岡-愛知-岐阜-滋賀-京都-大阪

山陽新幹線
新大阪駅-博多
1972〜75年全線開業
列車…のぞみ・ひかり・こだま(東海道新幹線と同じ)
大阪-兵庫-岡山-広島-山口-福岡

東北新幹線
東京駅-新青森
1982〜2010年全線開業
列車…はやぶさ・やまびこ・なすの
東京-埼玉-栃木-福島-宮城-岩手-青森

上越新幹線
大宮-新潟
1982年全線開業
列車…とき・たにがわ
埼玉-群馬-新潟

北陸新幹線(予定では金沢駅まで延長、現在、長野新幹線とよばれる)
高崎-長野
1997年
列車…あさま
群馬-長野

九州新幹線(鹿児島ルート)
博多駅-鹿児島中央
2004〜2011年
列車…みずほ・さくら・つばめ
福岡-佐賀-熊本-鹿児島

法律上は新幹線ではありませんが、在来線を活用した路線で新幹線と直通運転している鉄道をミニ新幹線といいます。

山形新幹線
福島-新庄
1992年
列車…つばさ
福島-山形

秋田新幹線
盛岡-秋田
1997年
列車…こまち
岩手-秋田





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math 円の問題を解くときに使う3つの技(全体-白、分配法則、移動)

円の問題を解くときによく使う技(わざ)は、(1)全体-白、(2)分配法則、(3)移動の3つです。

全体-白
斜線の部分、かげをつけた部分の面積を求めるときは、「全体から白い部分をひく」の技を使います。

例題1:次の図でかげをつけた部分の面積を求めなさい。
例題1








(解答)

全体の直角二等辺三角形から、白い部分のおうぎ形の面積をひけばよい。

全体は、1つの角が45°の直角二等辺三角形だから、底辺も高さも8cmだと考えます。
三角形の面積は、8×8÷2=32

白い部分は、半径が8cmで、中心角が45°のおうぎ形です。
まず、円全体のどれだけにあたるかを求めると、
45÷360=45/360=1/8
円の1/8にあたるおうぎ形だとわかったから、おうぎ形の面積は、
8×8×3.14×1/8=8×3.14=25.12

以上より、全体-白を求めると、
32-25.12=6.88


分配法則
分配法則とは、
A×(B+C)=A×B+A×C
と、その逆の、
A×B+A×C=A×(B+C)
が成り立つという計算法則です。

算数では、「式をできるだけ簡単にしてから計算する」ことが大原則です。
何も考えないでがむしゃらに計算する人は、計算法則、特に分配法則を上手に使って工夫して解く人に比べると、時間が5倍以上かかり、計算まちがいも5倍以上増えます。
「どうしたら簡単に計算できるか」を常に考えて問題を解くべきです。

例題2:次の図でかげをつけた部分の面積を求めなさい。
例題2









(解答)
かげをつけた部分の面積を求める問題なので全体-白で解きますが、分配法則A×B+A×C=A×(B+C)を利用して、一番簡単な式にしてから最後に計算をします。

全体は半径10cmの半円、白い部分は半径4cmと半径6cmの半円です。
全体-白より、
10×10×3.14÷2-4×4×3.14÷2-6×6×3.14÷2

3.14÷2の部分が共通なので、分配法則を使って、
(10×10-4×4-6×6)×3.14÷2
=(100-16-36)×3.14÷2
=48×3.14÷2
=24×3.14
=75.36


移動
小学生が面積を求めることができるのは、三角形四角形、そしておうぎ形だけです。
それ以外の形であれば、移動して、三角形、四角形、おうぎ形にしないと解けません。

例題3:次の図でかげをつけた部分の面積を求めなさい。
例題3の1












(解答)
このままでは、三角形でもおうぎ形でもないので解けません。
移動して、三角形おうぎ形にします。
例題3の2
左図のように移動したら三角形とおうぎ形の図形になることに気がつけば、解くことができます。

移動の仕方を見つけるポイントは、三角形おうぎ形にする、です。




次に、全体-白の技を使って、おうぎ形から三角形をひいたら解けると気づいたら、角度の45°から三角形の高さが4cmであることも見つけることができます。
例題3の3
以上の考察を経て、
半径8cmで中心角45°のおうぎ形の面積から、底辺8cmで高さが4cmの三角形の面積をひけばよいことがわかるので、

8×8×3.14×1/8-8×4÷2
=8×3.14-16
=25.12-16
=9.12




まとめ

(1)かげをつけた部分の面積=全体-白

(2)3.14がいくつか出てきたら分配法則を活用する

(3)移動して、三角形おうぎ形にしないと解けない問題がある




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math おうぎ形の面積を求める3つの方法と子どもの発達段階

おうぎ形の面積は、円の面積(半径×半径×3.14)をもとに、おうぎ形が円のどれだけにあたるか考えて求めます。

そのとき、6年生の解き方は3種類に分かれます。

半径が6cm、
おうぎ形中心角が60°のおうぎ形の面積を求める式を考えてみます。








(1)整数で発想する方法と(2)分数で考える方法

(1)1つの考え方は、整数で考える方法です。

おうぎ形が円のどれだけにあたるかを整数で考えます。
円とおうぎ形
円の中心角が360°で、おうぎ形の中心角が60°なので、360÷60=6
おうぎ形が円の6分の1であることがわかります。

(面積を求める式)
360÷60=6
6×6×3.14÷6=18.84




(2)もう1つの考え方は、最初から分数で考える方法です。

円の中心角が360°で、おうぎ形の中心角が60°だから、60÷360=1/6
おうぎ形が円の6分の1であることを、最初から分数で求めます。

(面積を求める式)
60÷360=1/6
6×6×3.14×1/6=18.84


(1)も(2)も、小学校「算数」の考え方ですが、6年生の多くは、(2)の分数より(1)の整数を使うほうがわかりやすいようで、(1)の発想法を好みます。


(3)公式化して、中学数学と同じように解く方法

中学数学では、おうぎ形が円のどれだけにあたるかは中心角/360°で求められることを当然の前提として、おうぎ形の面積を求める式を「公式」として最初に覚えます。

おうぎ形の面積を求める公式=半径×半径×3.14×中心角/360
(中学では、3.14のかわりにπを使いますが…。)

この公式に機械的にあてはめて解く方法が3番目の解き方です。 
おうぎ形
(面積を求める式)
6×6×3.14×60/360=6×6×3.14×1/6=6×3.14=18.84





小学6年生はどの考え方で解くべきか?

円の面積の問題は小学校6年生で習いますが、6年生はおうぎ形の面積を求めるのに、上記3つの方法のうち、どの方法で解くべきでしょうか?

私は、小学生はできるだけ抽象的な思考を避けて、具体的なイメージを頭にうかべながら物事を考えるほうがその発達段階にふさわしいのではないかと思っています。

小学生はできるだけ具体的に考える、中学生は具体性を引きずりながら少しだけ抽象的思考に慣れる、高校生以上になると純粋に抽象的な思考ができるようになる、と段階を踏むのが理想的です。

また、具体的ではあっても、整数でないとイメージがわかないようでは少し幼稚過ぎます。
6年生ともなれば、いちいち整数に還元しないで、直接、小数や分数で考えられないといけません。

以上より、6年生におすすめの方法は(2)だということになります。


問題:次のおうぎ形の面積を求めなさい。
問題1
(おすすめの解き方)
45÷360=45/360=1/8
8×8×3.14×1/8=8×3.14=25.12





問題2(おすすめの解き方)
150÷360=150/360=5/12
6×6×3.14×5/12=3×3.14×5=47.1

整数でしか考えられない人は、左の問題だとどう解いたらよいか困ってしまいます。

中心角÷360°の式を使い、おうぎ形が円のどれだけにあたるかを分数で表すやり方に慣れるべきです。


まとめ

おうぎ形の面積を求めるときのおすすめの方法・・・

まず、中心角÷360=分数
次に、おうぎ形は円の一部だから、半径×半径×3.14×分数
注意点として、約分できるときは必ず約分を先にする



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