contents 高校入試 数学 目次

ブログ『働きアリ』掲載記事のうち、高校入試数学の目次です。
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 ・・・・・・・・高校入試数学の頻出事項・・・・・・・・
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 空間図形と最短距離
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 立体に内接する球
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 回転体の体積・表面積とパップス・ギュルダンの定理
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 中３　大阪府　素数　理数科・１９年・２２年
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 中３　大阪府　規則性　後期Ｂ・２１年
 中３　大阪府　規則性　理数科・２０年
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 中３　大阪府　関数　理数科・２０年
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 中３　大阪府　関数　２２年後期　Ｂ選択
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 中３　大阪府　確率　後期Ｂ選択問題（１６〜２０年度）

 ＊＊＊平成２３年　文理学科問題　後期Ｂ問題＊＊＊
 大阪府２３年前期・文理　二元一次方程式と解の個数
 大阪府２３年文理学科　関数
 大阪府２３年文理学科　平面図形
 大阪府２３年文理学科　空間図形（立体図形）
 大阪府２３年後期Ｂ　関数
 大阪府２３年後期B　一次関数・方程式の利用
 大阪府２３年後期Ｂ　平面図形
 大阪府２３年後期Ｂ　空間図形

English 高校入試英語 並べ替え（語順整序）問題 究極の解法

高校入試英語の並べかえ問題（語順整序の問題）を確実に解く方法を考察します。





並べかえ問題（語順整序の問題）の究極的解法

並べかえ問題を解くときは、常に２段階の頭の使い方をするべきです。

１、入試問題は、受験生が当然知っていないといけない重要事項だけが問われます。
（１）重要な文法事項
（２）重要な英語構文
（３）重要な連語
のうち、「何が問題として問われているのか」を考えると正解に速く到達できます。

２、英語の語順の大原則である、主語＋動詞＋（目的語）を常に意識して問題を解きます。
（１）特に、動詞をどこに置くかが決め手になることが多い。
（２）疑問文であることや時制などがヒントになることが多い。

つまり、重要なことのうち何が問われているのかを考察し、英語の語順の原則に従っているかどうかを確認する、という２段階の手順をふむとよいのです。

では、実際の問題で練習してみましょう。


重要な文法事項が問われている問題

例題１：次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。ただし、文頭にくる語も小文字で示してあります。
（１）How (you / lived / have / long) in this town?
（２）(have / to / often / you / how / Paris / been)?
（３）Kumiko was very (beautiful / see / glad / sunset / to / the) .
（４）My father (me / a singer / be / to / want / doesn't).
（５）I (by / asked / the teacher / was / some questions).
（６）You can find something that (people / happy / makes / other).
（７）I (an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) I love English.
（８）I also hope everyone can (world / love / filled / live / with / a / in) and peace.


解法と正解

（１）How (you / lived / have / long) in this town?（疑問詞）

（解法）文頭のHowから、期間を尋ねるHow long（どれくらいの間）にしたらよいとわかります（ここでlongを消しておきます）。
そうすると、残ったyou / lived / have /から、疑問文なのでhave you livedの語順が頭にうかんできます。

（正解）How long have you lived in this town?（あなたはどれくらいの間この町に住んでいますか。）


（２）(have / to / often / you / how / Paris / been)? （疑問詞）

（解法）末尾の?から疑問文であり、疑問詞howがあるので、頻度を尋ねるHow often（何回）で始めたらよいとわかります。
残ったhave / to / often / you / how / Paris / beenを眺めて、現在完了形の疑問文であることから、have you been to Parisの語順がうかんできます。

（正解）How often have you been to Paris?（あなたは何度パリに行ったことがありますか。）


（３）Kumiko was very (beautiful / see / glad / sunset / to / the) .（不定詞）

（解法）選択肢中のgladやtoからbe glad to…（…してうれしい）を理解しているかどうかを試す問題だとわかります。
toの後は動詞の原形だから、Kumiko was very glad to seeまでが決まります。
残ったbeautiful / see / glad / sunset / to / theを眺めると、the beautiful sunsetがseeの目的語です。

（正解）Kumiko was very glad to see the beautiful sunset.（くみこは美しい日没を見てとてもうれしかった。）


（４）My father (me / a singer / be / to / want / doesn't).（不定詞・want）

（解法）主語のMy fatherの後だから、動詞がwantがくること、その前にdoesn'tが入ることを確認しておきます。
次に、目的格のmeがあるので、want to（〜したい）ではなくて、want 人 to（…に〜してほしい）がわかっているかどうかを尋ねる問題だとわかります。
doesn't want me to beで、「私になってほしくない」のです（ここでのbeは、becomeと同じ「なる」という意味です）。

（正解）My father doesn't want me to be a singer.（私の父は私に歌手になってほしくない。）


（５）I (by / asked / the teacher / was / some questions).（受け身・文型・ask）

（解法）be動詞のwasがあり、過去分詞のaskedがあるので、受け身です。書き出しは、I was askedとなります。
askは第４文型の動詞ですから、The teacher asked me some question.を受け身にしたもので、直接目的語のsome questionがaskedの後にきます。

（正解）I was asked some question by the teacher.（私は先生にいくつかの問題を尋ねられた。）


（６）You can find something that (people / happy / makes / other).（関係代名詞・文型・make）

（解法）かっこ前のthatは、somethingの直後なので、接続詞ではなくて関係代名詞であり、かっこ内の節（文）が後ろからsomethingを修飾します。
そして、「〜を…にする」のmakeが重要だから出題されていると気づかないといけません。make other people happyの語順になります。

（正解）You can find something that makes other people happy.（あなたは他の人を幸せにする何かを見つけられます。）


（７）I (an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) I love English.（would like to・接続詞）

（解法）主語Iの後に、「〜したい」のwould like toがくることにまず気づかないといけません（間違いないと確信できる語を最初に見つけておくと、後が相当楽になります）。
I would like toの後は動詞の原形がくるはずなのでbeであり、そうするとbe an English teacher（先生になる）が続くであろうと予想できます。
I would like to be an English teacherの後は、(an English teacher / like / because / would / to / be / in the future) のうちin the futureであり、最後にI love Englishの前に接続詞のbecauseがくることがわかります。

（正解）I would like to be an English teacher in the future because I love English.（私は、英語が好きだから、将来英語の先生になりたい。）


（８）I also hope everyone can (world / love / filled / live / with / a / in) and peace.（分詞）

（解法）助動詞canの後にくるのは動詞の原形です。loveかliveが候補ですが、「〜で満ちた」という連語(be)filled withの目的語がloveでしょうから、canの後はliveだと推測します（「〜に住む」の連語、live inも頭にうかべておきます）。
すると、I also hope everyone can live in a worldまで、できあがります。
残ったもの(world / love / filled / live / with / a / in)から、worldを後ろからfilled with love (and peace)（愛と平和にみちた）が修飾するであろうことがわかります。

（正解）I also hope everyone can live in a world filled with love and peace.（私はまた、すべての人が愛と平和にあふれた世界に住むことができることを望む。）


重要な英語構文が問われている問題

例題２：次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。ただし、文頭にくる語も小文字で示してあります。
（１）(to / something / would / hot / I / like) eat.
（２）(hard / the examination / worked / to / he / enough / pass).
（３）I don't (do / know / to / what) with her.
（４）Do you know (Europe / father / for / leave / when / will / your)?
（５）We have to get up early to (the breakfast / eat / for / make / our mothers / us).
（６）The book (by a friend of mine / in London / who / lives / was sent / I am reading now).
（７）(every day / necessary / the piano / isn't / it / practice / is / to / it / ,)?
（８）It was (sleep / hot / couldn't / I / so / that) at all last night.


解法と正解

（１）(to / something / would / hot / I / like) eat.（特殊な語順）

（解法）並べかえ問題によく出る問題の一つにsomething,anything,nothing関連のものがあります。「何か冷たい飲み物」something cold to drinkや「何かあたたかい食べ物」something hot to eatを暗記しておくべきです。
この問題ではI would likeの後、something hot to eatとなります。

（正解）I would like something hot to eat.（私は何かあたたかい食べ物がほしい。）


（２）(hard / the examination / worked / to / he / enough / pass).（特殊な語順）

（解法）enoughも、「〜するほど…だ」、「とても…だから〜した」という意味の特殊な語順である「形容詞+enough+to〜」となる語なので、並べ替え問題によく出題されます。
主語+動詞のHe workedの後、hard enough to passと続きます。

（正解）He worked hard enough to pass the examination.（かれは一生懸命勉強したから試験に合格した。）


（３）I don't (do / know / to / what) with her.（疑問詞+to）

（解法）「疑問詞+to」の理解を問う問題です。

（正解）I don't know what to do with her.（彼女に何をしたらよいかわからない。）


（４）Do you know (Europe / father / for / leave / when / will / your)?（間接疑問文）

（解法）間接疑問文の語順である、「疑問詞+主語+動詞〜」がわかっているかどうかを問う問題です。

（正解）Do you know when your father will leave for Europe?（あなたはお父さんがいつヨーロッパに出発するか知っていますか。）


（５）We have to get up early to (the breakfast / eat / for / make / our mothers / us).（関係代名詞）

（解法）「先行詞+関係代名詞+主語+動詞〜」の語順を問う問題です。
We have to get up early toの後には動詞の原形のeatがきます。
その後に、動詞eatの目的語のthe breakfast、そしてそれを修飾する、（関係代名詞）+主語+動詞〜の、our mothers make for usが続きます（この問題では目的格の関係代名詞が省略されています）。

（正解）We have to get up early to eat the breakfast our mothers make for us.（私たちは母たちが私たちのために作る朝食を食べるために早く起きないといけない。）


（６）The book (by a friend of mine / in London / who / lives / was sent / I am reading now).（関係代名詞）

（解法）まず、the bookを修飾する関係代名詞節は、（関係代名詞(省略)）+I am reading nowです。
これが主語にあたり、その後、was sent by a friend of mineと続きます。
そして、a friend of mineを、関係代名詞に導かれた節であるwho lives in Londonが修飾します。

（正解）The book I am reading now was sent by a friend of mine who lives in London.（私が今読んでいる本は、ロンドンに住んでいる友人から送られたものです。）


（７）(every day / necessary / the piano / isn't / it / practice / is / to / it / ,)?（It is…to…、付加疑問）

（解法）It is〜to…の文であることと、付加疑問文でもあることに気づいたら、容易に解くことができます。

（正解）It is necessary to practice the piano every day, isn't it?（毎日ピアノを練習することが必要ですね。）


（８）It was (sleep / hot / couldn't / I / so / that) at all last night.（so 〜that …can't…）

（解法）so〜that…can't…「とても〜だから…できない」の文だと気づいたら、容易に語順が決まります。

（正解）It was so hot that I couldn't sleep at all last night.（昨夜はとても暑くて全く眠れなかった。）


重要な連語が問われている問題

例題３：次の語や句を並びかえて、英文を完成させなさい。
（１）My (swimming / good / not / very / at / is / friend).
（２）Thank you (coming / see / me / for / to).
（３）Don't (out / go / telling / without / me).
（４）Mt. Fuji is (most / one / the / beautiful / mountains / of) in Japan.


解法と正解

（１）My (swimming / good / not / very / at / is / friend).（連語・be good at）

（解法）選択肢を眺めて、「〜することが得意である」be good at+〜ingの文を作ることに気づけば簡単に解けます。

（正解）My friend is not very good at swimming .（私の友人はそんなに泳ぐのが得意ではない。）


（２）Thank you (coming / see / me / for / to).（連語・thank you for）

（解法）文の書き出しから、「〜してくれてありがとう」thank you for+〜ingの文であることに気づくべきです。
「会いにくる」come to seeも暗記事項です。

（正解）Thank you for coming to see me.（私に会いに来てくれてありがとう。）


（３）Don't (out / go / telling / without / me).（連語・without+〜ing）

（解法）「〜しないで」という意味の、前置詞without+〜ingの文であることさえわかれば簡単です。
否定命令文ですから、don'tの後に動詞の原形がきます。

（正解）Don't go out without telling me.（私に言わないで外に出てはいけません。）


（４）Mt. Fuji is (most / one / the / beautiful / mountains / of) in Japan.（連語・比較）

（解法）「最も〜なうちの一つ」という連語、one of the+最上級を暗記しておけば、間違えることはないでしょう。

（正解）Mt.Fuji is one of the most beautiful mountains in Japan.（富士山は日本で最も美しい山の一つです。）


最近の入試問題に多い出題形式

最近の入試問題の出題形式として多いのは、次のような問い方をする問題です（高校入試だけでなく、センター試験や英検の並べかえ問題もこの形式です）。

例題４：次の語や句を並びかえて英文を完成させたとき、２番目と５番目にくる語を答えなさい。

He is (any / the / class / student / other / taller / than / in).


（解法）よくないのは、時間をかけないでいきなり２番目と５番目にくる語を探す解き方です。
必ず、きちんとした英文を書いてのち、その書いた文の２番目と５番目の単語を答えるべきです。

（正解）この問題は、「他のどの〜よりも…だ」という連語、比較級+than+any+otherを問う問題です。
He is taller than any other student in the class.（彼はクラスのどの生徒よりも背が高い。）
したがって、答えは、２番目がthanで５番目がstudentです。


並べかえ問題（語順整序問題）の解法まとめ

１、重要なことのうち何が問われているのかを考察し
２、英語の語順の原則に従っているかどうかを確認する

受験生が当然知っていないといけない重要なこととは…
（１）重要な文法事項
（２）重要な英語構文
（３）重要な連語

２、英語の語順の原則とは…
（１）主語＋動詞＋（目的語）の語順を常に意識する
（２）疑問文であることや時制などがヒントになる





（英語の、さらに詳しい説明は『英語・分野別・目次』からたどってご覧ください。）

math 関数の難問を解くたった一つの方法（東京都と大阪府の入試問題を解く）

コメント欄に寄せられた質問：「平成19年度都立入試数学の3番目の問3で悩んでいます。」
確かに、関数の分野では一番難しい問題であり、Hさんが悩むのもうなずけます。

ところが、関数のすべての難問は、たった一つの解き方で解くことができます。

その方法とは…
1、式と座標を書き込む
2、x座標をtとし、y座標をtの式で表す
3、問題文から、tを使って方程式をつくり、解く

この3段階で、ほぼすべての関数の難問を解くことができます。


東京都の問題も

19年度都立高校入試、3番の問い3（一部表現をかえています）
図で、点Aの座標は(-4,-3)であり、直線Lはy=-x+5のグラフである。直線Lとy軸との交点をB、直線L上にありx座標が8より小さい正の数である点をPとする。
2点A、Pを通る直線をMとし、直線Mとy軸との交点をQとする。
2点A、Bを結び、点Pを通りx軸に平行な直線をひき、線分ABとの交点をRとする。
△BRPの面積が27のとき、△APRの面積はいくらか。



手順１、式と座標を書き込む
まず、問題文に書いてあった、Ｌの式y=-x+5と、点Ａの座標(-4,-3)を記入します。
点Ｂの座標(0,5)も忘れずに記入しておきます。

次に、点Ａと点Ｂを通る直線の式を求めます。
点Aと点Bの座標から、xが-4から0まで4増加し、yが-3から5まで8増加しているので、傾きが8/4、すなわち2であることがわかります。
また、切片は5です。
すなわち、点Ａ、Ｂを通る直線の式はy=2x+5です。
これを書き込みます。


手順２、x座標をtとし、y座標をtの式で表す
さらに、点Ｐと点Ｒの座標を書き込みます。
点Ｐ、Ｒの座標を書き込まないといけない理由は、この問題を解くかぎである△BRPと△APRの面積を考えるのに、点Ｐ、点Ｒの座標が不可欠だからです。

そして、この問題のように問題文の中に点Ｐ、点Ｒの座標について何も書かれていないときは、点Ｐのx座標をtと決めてしまいます。
そうすると、点Ｐがグラフy=-x+5上の点なので、xにtを代入して、y=-t+5だとわかります。
すなわち、点Ｐの座標は(t,-t+5)です。

次に、点Rの座標ですが、直線PRがx軸に平行であることから、点Ｒのy座標は点Ｐと同じ-t+5です。
このyの値を、点Ｒを通る直線の式、y=2x+5に代入します。
-t+5=2x+5
-2x=t+5-5
-2x=t
x=-t/2
つまり、点Ｒの座標は(-t/2,-t+5)です。


手順３、問題文から、tを使って方程式をつくり、解く
問題文の、「△BRPの面積が27」から、tを使って方程式をつくります。

このとき、特に気をつけないといけないのは、点Ｒの座標(-t/2,-t+5)のx座標、y座標ともに負の数だということです。

座標が負の数のとき、距離に負の数はありませんから、距離は正の数になります。
つまり、符号を逆にしないといけません。

以上より、図のように、△BRPの底辺の長さはt/2+t、高さは5+(t-5)となります。
△BRPの面積が27であることから方程式をつくると、
(t/2+t)×(5+t-5)×1/2=27
この方程式を解いて、
3/2t×t×1/2=27
t²=36
t>0より、t=6

以上より、点Ｒの座標は、(-t/2,-t+5)にt=6を代入して、Ｒ(-3,1)です。

これで、△APRの面積を求めることができます。

△BRPと△APRはとなり合った三角形なので、2つの三角形の面積の比は、底辺であるBPとRAの比と一致します。

また、点Ａ(-4.-3)、点Ｒ(-3,-1)、点Ｂ(0,5)から、左図のようにx座標の比は1:3です。

ARとRBの比もこれと同じ比になり、1:3です。


そして、△BRPと△APR、2つの三角形の面積の比は、底辺であるBPとRAの比と一致します。

△APRの面積をxとすると、
27:x=3:1
3x=27
x=9

△APRの面積は9です。



（AR:RB=1:3になることの補足説明）

Aを通るx軸に平行な直線とy軸との交点をS、Rを通るy軸に平行な直線と直線ASとの交点をTとすると、
△RAT∽△BASだから、AT:TS=1:3のとき、AR:RB=1:3になります。










大阪府の問題も

24年度府立高校入試、後期B問題１(6)（一部表現をかえています）
図においてmはy=2/3x²のグラフを、nはy=a/xのグラフを表す。aは0<a<18の定数である。
A、Bはm上の点であり、Aのx座標は-2であり、Bのx座標は3である。
C、D、Eはn上の点であり、Cのx座標はAのx座標と等しく、Dのy座標はBのy座標と等しく、Eのx座標はBのx座標と等しい。
AC=BEであるとき、線分BDの長さを求めよ。







手順１、式と座標を書き込む
まず、問題文に書いてあった、mの式y=2/3x²とnの式y=a/x、点Ａの座標(-2,＊)と点Bの座標(3,＊)を記入します（＊印のところは空けておきます）。
点Eと点Ｂのx座標が等しく、点Cと点Aのx座標が等しいので、点Eの座標(3,＊)、点Cの座標(-2,＊)も忘れずに記入しておきます。









2、x座標をtとし、y座標をtの式で表す
この問題は、東京都の問題より一つだけ易しい問題です。
すでにx座標がわかっているので、x座標をtとする必要はありません。

それぞれの点を通っているグラフの式にx座標を代入して、点A、B、C、Eのy座標を書き込んでいきます。

点A、Bは放物線y=2/3x²上の点なので、式y=2/3x²にx座標の数を代入して、点Aの座標は(-2,8/3)、点Bの座標は(3,6)となります。
点C、Eは双曲線y=a/x上の点なので、式y=a/xにx座標の数を代入して、点Cの座標は(-2,-a/2)、点Eの座標は(3,a/3)となります。









手順３、問題文から、方程式をつくり、解く
問題文の、「AC=BEである」から、方程式をつくります。

BEの長さは、点Bのy座標から点Eのy座標をひいた6-a/3です。

次にACの長さです。ACの長さは点Aのy座標に、x軸から点Cまでの距離をたしたものです。
気をつけないといけないのは点Cのy座標が負の数であることです。座標が負の数のとき、距離は正の数だから符号をかえないといけません。
ACの長さは、8/3+a/2です。

以上より、AC=BEから、方程式、6-a/3=8/3+a/2ができます。
この式の両辺に6をかけて、36-2a=16+3a
-5a=-20
a=4

こうして、放物線の式が、y=4/xであることがわかりました。

これで、線分BDの長さを求めることができます。

まず、点Dのy座標は点Bのy座標と等しいから6
点Dは双曲線y=4/x上の点だから、y=4/xの式にy=6を代入して6=4/x
6x=4だから、x=2/3
点Dの座標は(2/3,6)です。

線分BDの長さは、点Bのx座標から点Dのx座標をひいた、3-2/3=7/3です。




（数学の、さらに詳しい説明は『中学校・数学・学年別・目次』からたどってご覧ください。）

science 【超速まとめ】 酸とアルカリ・中和

酸とアルカリ・中和の章が一目で理解できるように、重要事項を最もわかりやすくまとめました。

１、酸性・中性・アルカリ性
水溶液は、酸性・中性・アルカリ性に分かれる

酸性の水溶液…
青色リトマス紙を赤色に変える
緑色のBTB溶液を黄色に変える
金属（マグネシウム・鉄・アルミニウム・亜鉛）を入れると水素が発生する
・塩酸、硫酸、硝酸、酢酸、炭酸、クエン酸（レモン汁）など

中性の水溶液…リトマス紙は変化しない
BTB溶液は緑色である
・食塩水、砂糖水、硝酸カリウム水溶液など

アルカリ性の水溶液…赤色リトマス紙を青色に変える
緑色のBTB溶液を青色に変える
無色のフェノールフタレイン溶液を赤色に変える
・水酸化ナトリウム水溶液、水酸化バリウム溶液、水酸化カルシウム溶液（石灰水）、アンモニア水など

指示薬…酸性か中性かアルカリ性かを調べる薬品








２、酸性の水溶液でのイオンの移動

酸…水にとけると（水溶液になると）電離して水素イオンを生じる物質

pH試験紙の赤色の部分が陰極(−)側に広がっていくので、水素イオンH⁺が酸性のもとだとわかる

おもな酸の電離の式…
塩酸 HCl→H⁺+Cl^-
硫酸 H₂SO₄→2H⁺+SO₄^2-
硝酸 HNO₃→H⁺+NO₃^-


アルカリ…水にとけると（水溶液になると）電離して水酸化物イオンを生じる物質

pH試験紙の青色の部分が陽極(−)側に広がっていくので、水酸化物イオンOH^-がアルカリ性のもとだとわかる

おもなアルカリの電離の式…
水酸化ナトリウム NaOH→Na⁺+OH^-
水酸化カリウム KOH→K⁺+OH^-
水酸化バリウム Ba(OH)₂→Ba²⁺+2OH^-


pH（ピーエイチ）…酸性とアルカリ性の強さを表す数値
中性…pH7
酸性…pH7未満、数値が小さいほど酸性が強い
アルカリ性…pH7をこえる、数値が大きいほどアルカリ性が強い


３、酸と金属の反応

酸と金属が反応すると酸にふくまれていた水素が気体となって出てくる

マグネシウムと塩酸…Mg+2HCl→MgCl₂+H₂（塩化マグネシウム＋水素）
亜鉛と硫酸…Zn+H₂SO₄→ZnSO₄+H₂（硫酸亜鉛と水素）


４、中和

中和…酸性の水溶液とアルカリ性の水溶液をまぜること
＝（酸の正体は水素イオン、アルカリの正体は水酸化物イオンだから）酸の水素イオンとアルカリの水酸化物イオンが結びついて水ができる反応
・中和は発熱反応

中性…酸性とアルカリ性が打ち消しあって、酸性でもアルカリ性でもなくなった状態


塩酸に水酸化ナトリウムを加えるとき…

塩酸中にある水素イオン＞加えた水酸化ナトリウム中にある水酸化物イオン…酸性
塩酸中にある水素イオン＝加えた水酸化ナトリウム中にある水酸化物イオン…中性
塩酸中にある水素イオン＜加えた水酸化ナトリウム中にある水酸化物イオン…アルカリ性

塩酸と水酸化ナトリウムの中和でできるもの…塩酸＋水酸化ナトリウム→塩化ナトリウム＋水
化学反応式…HCl+NaOH→NaCl+H₂O

イオン反応式…H⁺+Cl^-+Na⁺+OH^-→Na⁺+Cl^-+H₂O
・酸である塩酸の水素イオンと、アルカリである水酸化物ナトリウムの水酸化物イオンが結びついて水ができる
・塩酸中の塩化物イオンと、水酸化物ナトリウム中のナトリウムイオンは、イオンのままで水にとけている（塩化ナトリウムは電解質で水溶液中ではイオンのままだから）


中和を一般的にまとめると…

中和…酸とアルカリをまぜると塩（えん）と水ができる反応

塩（えん）…酸の陰イオン（水素イオンではないほう）と、アルカリの陽イオン（水酸化物イオンではないほう）が結びついてできる物質

酸＋アルカリ→塩＋水
（例）
塩酸＋水酸化ナトリウム→塩化ナトリウム＋水
硫酸＋水酸化バリウム→硫酸バリウム＋水
塩化ナトリウムや硫酸バリウムなどを塩という

中和を表す式…H⁺+OH^-→H₂O


５、こまごめピペット
中和で使う実験器具、液体を測りとるために使う
・親指と人指し指でゴム球を押し、下の3本指でガラスの部分を持つ
・親指をゆるめて液体を吸い込む
・親指で押して不要な量を押し出し、必要な量を残す



水溶液の廃棄の仕方…中和して、できるだけ中性に近い状態で廃棄する




（酸とアルカリ・中和の各内容の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。）

science 【超速まとめ】 水溶液とイオン

イオンの章が一目で理解できるように、重要事項を最もわかりやすくまとめました。

１、電流を通すものと通さないもの

電流を通すもの
・金属
・塩化ナトリウム水溶液（食塩水）、塩酸（塩化水素の水溶液）、水酸化ナトリウム水溶液、塩化銅水溶液
・果汁

電流を通さないもの
・蒸留水、砂糖水
・塩化ナトリウム（食塩）、塩化銅
・紙、プラスチック

電解質…水にとかしたとき、水溶液が電流を通す物質（塩化ナトリウム、塩化水素、水酸化ナトリウム、塩化銅など）

非電解質…水にとかしても、水溶液が電流を通さない物質（砂糖、エタノールなど）


２、塩化銅水溶液の電気分解と塩酸の電気分解

ろ紙に塩化銅水溶液をしみこませて電圧をかけると…
・青色のしみ（青色は銅イオンの色）は陰極に移動する→銅イオンが＋の電気をおびていることがわかる
・ろ紙を乾かし、陽極側に硝酸銀水溶液をかけると塩化銀の灰色のしみが表れる→塩化物イオンが−の電気をおびていることがわかる


電気分解…電解質に電流を流すと、物資が分解されて陽極と陰極にもとの物質とは別の物質が生じる

塩化銅水溶液に電流を通すと…
・陰極（−極）…銅（赤褐色）が付着する
・陽極（＋極）…塩素の泡が発生する

塩化銅→銅＋塩素



電気分解が進むと、塩化銅水溶液の色である青色がだんだんうすくなる（青色は銅イオンの色であり、銅イオンが銅の原子にかわって少なくなっていくから）


塩酸（塩化水素の水溶液）に電流を流すと…
・陰極（−極）…水素が発生する
・陽極（＋極）…塩素が発生する

塩化水素→水素＋塩素



３、原子の構造とイオン

原子…中心に原子核（＋の電気をおびている）があり、原子核のまわりを電子（−の電気をおびている）がまわっていて、原子全体としては電気的に中性（＋の電気も−の電気もおびていない）である

原子核…いくつかの、陽子（ようし）と中性子（ちゅうせいし）でできている
・陽子…陽子1個は、電子1個の−の電気と同じ量の、＋の電気をおびている
・中性子…電気をおびていない

電子…−の電気をおびている

原子の種類…陽子の個数で何の原子かが決まる
（例）
・水素は、1個の陽子をもつ原子核のまわりを1個の電子がまわっている
・ヘリウムは、2個の陽子をもつ原子核のまわりを2個の電子がまわっている

陽子と電子の個数…原子がもっている陽子と電子の個数は等しい


イオン…原子が電子を失うか受けとると、＋か−の電気をおびてイオンになる
・電子を失うと、＋の電気をおびて陽イオンになる
・電子を受けとると、−の電気をおびて陰イオンになる

陽イオン…原子が電子を失って＋の電気をおびたもの
・水素イオンと、おもに金属のイオン（ナトリウムイオン、カリウムイオン、銀イオン、銅イオン、亜鉛イオン、マグネシウムイオン、カルシウムイオン、バリウムイオン、アンモニウムイオンなど）
・電流を流すと、陽イオンは陰極に移動する

陰イオン…原子が電子を受けとって−の電気をおびたもの
・塩化物イオン、水酸化物イオン、硝酸イオン、硫酸イオン、炭酸イオンなど
・電流を流すと、陰イオンは陽極に移動する

イオン式…原子の記号に、おびた電気を書きくわえて表したもの

・陽イオンのイオン式…原子の記号の右上に、＋と、失った電子の数を書きくわえる
（例）














・陰イオンのイオン式…原子の記号の右上に、−と、受けとった電子の数を書きくわえる
（例）









電離…電解質が水にとけて、陽イオンと陰イオンに分かれること

電離を表わす式…物質が水にとけて、どのようなイオンに分かれたかを表す式
（例）









４、電池

電池とエネルギー…電池は化学エネルギーを電気エネルギーに変換する装置である

・電解質の水溶液に、2種類の金属を入れると電池になる

−極で起こる変化…金属が電子を失って陽イオンになる（金属は水溶液にとける）

＋極で起こる変化…電解質の水溶液中にある陽イオンが、電子を受けとって原子になる


















身近な電池…
・マンガン乾電池…亜鉛がとけて電子を放出することを利用する電池
・燃料電池…水素と酸素が化合して水ができるときに発生する電気エネルギーを取り出す電池

一次電池…充電のできない電池（マンガン電池・リチウム電池）
二次電池…充電できる電池（鉛蓄電池）




（イオンの各内容の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。）

science 【超速まとめ】 太陽系・惑星・月・太陽・銀河系

太陽系・惑星・月・太陽・銀河が一目で理解できるように、重要事項を最もわかりやすくまとめました。

１、太陽系・惑星

太陽系…恒星の太陽と、太陽のまわりをまわる惑星・衛星・小惑星・彗（すい）星のグループ

惑星…太陽のまわりを公転している天体、水星・金星・地球・火星・木星・土星・天王星・海王星の8個
・地球型惑星（小さいが平均密度は大きい）…水星・金星・地球・火星
・木星型惑星（大きいが平均密度は小さい）…木星・土星・天王星・海王星
・内惑星…地球より内側を公転している惑星…水星・金星
・外惑星…地球より外側を公転している惑星…火星・木星・土星・天王星・海王星

公転面…惑星はほぼ同じ面を同じ向きに公転していて、外側にある惑星ほど公転周期は長い

衛星…惑星のまわりを公転している天体、月など

小惑星…火星と木星の間を公転している小天体の集まり

彗（すい）星…楕円形の公転軌道をもち、尾が見える天体、ハレー彗星など

金星の見え方

天球上の惑星の位置…地球も惑星もそれぞれの周期で公転しているので、地球から見る惑星の位置は星座の間を移動する

金星が見える時刻と見える方角…
・金星は、内惑星（地球より内側で太陽のまわりを公転）だから、真夜中に見えることはない。明け方、日の出前か、夕方、日の入り後でしか見えない
・金星は、地球から見て太陽より右側にあるときは東の空に、地球から見て太陽より左側にあるときは西の空に見える
・明けの明星…明け方、東の空に見える金星
・よいの明星…夕方、西の空に見える金星



金星の見かけの大きさ…金星が地球に近いとき、大きく見えるが見える範囲はせまい、地球から遠いとき、小さく見えるが見える範囲は広い


２、月

月…地球のまわりを公転している、直径が地球の約1/4の衛星、地球からの距離は約38万km、表面にクレーター（くぼみ）や陸（明るく見える部分）や海（暗く見える平らな部分）があり、大気や水はない

月の公転…月は、地球のまわりを27.3日の周期で公転している

月の自転…月は、27.3日の周期で自転している

月の見える面…月の自転周期と公転周期が一致するので、地球からは月の同じ面しか見えない

月の満ち欠け（新月・上弦の月・満月・下弦の月）…太陽と地球と月の位置関係で決まる
・新月…太陽・月・地球と並んだとき
・満月…太陽・地球・月と並んだとき
・上弦の月…新月と満月の中間、右半分が見える
・下弦の月…満月と新月の中間、左半分が見える






満ち欠けの周期（新月から新月まで）…29.5日
地球が公転して位置が変わるので、月の公転周期は27.3日だが、新月から新月までは29.5日である









同じ時刻に見たときの月の位置…1日に12°（360°÷29.5日より）、西から東へ動く

日食…太陽・月・地球が、この順で直線上に並んだとき、月に隠れて太陽が見えなくなる現象









月食…太陽・地球・月が、この順で直線上に並んだとき、満月が地球の影に入って見えなくなる現象








太陽と月の見かけの大きさ…太陽の直径は月の約400倍あるが、太陽までの距離は月までの距離の約400倍だから、地球から見たときの太陽の大きさと月の大きさはほぼ等しい


３．太陽

恒星…みずから光り輝いている星、太陽や、星座を構成する星は恒星である

太陽の大きさ…直径が地球の約109倍

太陽と地球の距離…約1億5000万km

太陽の温度…表面温度は約6000°、中心付近の温度は1600万°

黒点…太陽の表面に現われる黒い点、温度が低いので黒く見える

プロミネンス（紅炎）…炎のように見えるガス

コロナ…太陽の周囲にあるガスの層


４、太陽系以外の天体

光年…光が1年間に進む距離、恒星までの距離を表す単位

等級…恒星の見かけの明るさを示す単位、肉眼で見える最も暗い恒星の明るさが6等星で、2.5倍明るいごとに5等星、4等星、…となり、1等星は6等星の100倍明るい
・太陽は-27等星、シリウスは-1.5等星、北極星は2等星

銀河系…太陽系を含む約2000億個の恒星の集まり、天の川と呼ばれる
・上から見たらうずまき状、横から見たら凸レンズ状、直径約10万光年、星団（恒星の集まり）と星雲（ガス）でできている

銀河…銀河系と同じような、銀河系の外にある数千億個の恒星の集団




（天体の各内容の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。）

science 【超速まとめ】 天体 自転・日周運動・公転・年周運動

地球の自転・天体の日周運動・地球の公転・天体の年周運動が一目で理解できるように、重要事項を最もわかりやすくまとめました。

１、地球の自転

天球…太陽や星が、その曲面上を動いているように見える球体







地軸…北極と南極を結ぶ軸

地球の自転…地球が、地軸を中心に、1日に1周360°（1時間に15°）、西から東に（時計の反対まわりに）回転すること

北極星…地軸の延長方向（天の北極）付近にある星で、位置を変えない、北極星の高度（角度）は観測地点の緯度（北緯）と等しい
北極星の高度=緯度（北緯）

天体の日周運動…天体が天球上を1日に1周するように見える見かけの運動、地球が自転することにより天体が動いているように見える

東の空…すべての天体が昇ってくる
南の空…東（左）から昇り、真南で最高点に達し、西（右）に沈む
西の空…すべての天体が沈む
北の空…すべての天体が、北極星を中心に時計の反対まわりに1周する



２、太陽の日周運動
太陽の日周運動…太陽は、朝、東から昇り、正午に真南で最高点に達し、夕方、西に沈む

南中…太陽が天の子午線上を通過するとき（太陽が真南の位置にきたとき）のこと、太陽の高度が最高になる

南中高度…太陽が南中したとき、太陽と、観測者と、地平線の3つがつくる角度


３、星の日周運動

星の日周運動…天球上の天体が、天の北極（地軸の延長と天球が交わる点）を中心に、東から西に、1日に1周360°（1時間に15°）回転して見えること、地球の自転による見かけの運動である

カシオペア座や北斗七星（おおぐま座）などの北の空の星…天の北極（北極星付近）を中心に、反時計まわりに1時間に15°動く








オリオン座などの南の空の星…東（左）から昇り、南を通って、西（右）に沈む


４、地球の公転

地球の公転…地球が、太陽のまわりを、1年で1周360°（1か月に30°）西から東に（時計の反対まわりに）移動すること

天体の年周運動…天体が天球上を1年に1周、東から西に、移動するように見える見かけの運動、地球が公転することにより天体が動いているように見える


５、太陽の年周運動

太陽の年周運動…太陽が、1年で1周（12か月で360°移動するから1か月に30°、365日で360°移動するから1日に約1°）、天球上の星座の間を動いているように見える

黄道（こうどう）…太陽が1年かけて動くように見える、天球上の太陽の通り道


６、星の年周運動

同じ時刻に観察すると…1年で1周（12か月で360°移動するから1か月に30°）、東から西へ動く

カシオペア座や北斗七星（おおぐま座）などの北の空の星…天の北極（北極星付近）を中心に、反時計まわりに1か月に30°動く

オリオン座などの南の空の星…東（左）から、南を通って、西（右）に動いているように見える

同じ位置にある時刻は…1か月に動く角度は30°であり、1日に星が30°動く時間は2時間だから（地球の自転による日周運動は1時間に15°）、星座が同じ位置にある時刻は1か月で2時間（30日で120分だから1日で4分）ずつ早くなる


７、地球の公転と地軸の傾き

地球が、地軸を傾けたまま（地軸の傾きは、公転面に対しては66.6°、公転面に垂直な直線に対しては23.4°）公転しているので、季節の変化が起こる

季節の変化の例…太陽の南中高度の変化、気温の変化、日の出と日の入りの位置、昼と夜の長さ

春分…3月21日頃
夏至…6月21日頃
秋分…9月23日頃
冬至…12月22日頃






太陽の南中高度…夏は高く、冬は低い

春分の日・秋分の日の南中高度=90-緯度
夏至の日の南中高度=90-緯度+23.4°
冬至の日の南中高度=90-緯度-23.4°

気温の変化…太陽の高度が高いほど面積あたりの日照量が大きいので気温が高い
・夏は、太陽の南中高度が高く、昼の時間が長いので、気温は高い
・冬は、太陽の南中高度が低く、昼の時間が短いので、気温は低い
ただし、地球に残存する熱の影響で、気温のピークは約2か月ずれる（南中高度が一番高いのは6月だが、気温が一番高いのは8月）

日の出と日の入りの位置…
・春分の日・秋分の日…太陽はほぼ真東から昇り、ほぼ真西に沈む
・夏至…太陽は真東よりも北よりから昇り、真西よりも北よりに沈む
・冬至…太陽は真東よりも南よりから昇り、真西よりも南よりに沈む








昼と夜の長さ…
春分の日・秋分の日…昼と夜がほぼ12時間ずつ
夏至…昼の時間が一番長い
冬至…昼の時間が一番短い
（左図は夏至）






（天体の各内容の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。）

science 【超速まとめ】 成長と生殖・遺伝

成長・生殖・遺伝の章が一目で理解できるように、重要事項を最もわかりやすくまとめました。

１、成長

細胞分裂…1つの細胞が2つに分かれること

成長…細胞分裂で細胞が２つに分かれる＋分かれた細胞それぞれが大きくなることで、成長する

成長のさかんな場所…植物の根の先端の成長点など

染色体…細胞分裂が始まると細胞の核に現われ、生物の種類によって数が決まっている

細胞分裂の順序…
（１）核の中に割れ目をもった染色体が現れ、核が消える
（２）染色体が細胞の中央に並ぶ
（３）染色体が割れ目にそって２つに分かれ、糸に引かれて両方に分かれていく
（４）それぞれ核が現われ始め、中央にしきり（植物細胞）・くびれ（動物細胞）ができる
（５）２つの細胞になる
（６）それぞれの細胞が大きくなる

染色液…酢酸オルセイン溶液や酢酸カーミン溶液で核や染色体が赤く染まる

体細胞分裂…染色体の数が変わらない細胞分裂（生殖細胞ができるときの分裂では、染色体の数は半分になる）


２、生殖

生殖…生物が新しい個体をつくる活動

無性生殖…雄と雌を必要としない生殖、分裂や栄養生殖がある
・分裂…1つの個体が2つに分かれる（単細胞生物）
・栄養生殖…植物が、根・茎・葉の一部から新しい個体を作り出すこと（サツマイモの根・ジャガイモの地下茎・ヤマノイモの芽など）

有性生殖…雄と雌によっておこなわれる、生殖細胞による生殖

生殖細胞…生殖にかかわる細胞．動物の卵・精子、植物の胞子など

動物の有性生殖…卵と精子が合体する（受精）
雌…卵巣で卵をつくる
雄…精巣で精子をつくる

植物の有性生殖…卵細胞と精細胞が合体する（受精）
雌…胚珠の中にある生殖細胞が卵細胞
雄…花粉から伸びる花粉管の中にある生殖細胞が精細胞

受精…卵の核と精子の核（動物）、卵細胞の核と精細胞の核（植物）が合体すること

受精卵…受精によってできた新しい細胞、細胞分裂を繰り返し胚になる

胚…自分で食物をとり始めるまでの子のこと

発生…受精卵が成体になっていく過程


３、遺伝

（１）形質と遺伝

形質…遺伝で親から子に伝わる特徴のこと

遺伝…親の形質が子に伝わること

遺伝子…形質を伝えるもの、細胞の核の中の染色体にある

無性生殖と形質…親と全く同じ形質が伝わる
有性生殖と形質…雄と雌の遺伝子をそれぞれ半分ずつ受け継ぎ、子に現われる形質と現われない形質がある


（２）減数分裂と受精

減数分裂…生殖細胞ができるときの、染色体の数が半分になる細胞分裂

受精と染色体数…染色体数が半分になった生殖細胞の受精により、受精卵の染色体数は親の染色体数と同数になる


（３）子に現われる形質

自家受粉…同じ花の花粉とめしべで受粉をすること

純系…自家受粉で代々同じ形質が現われる個体

対立形質…どちらかが子に現われる、対立する形質（エンドウの丸い種子としわのある種子など）

優性形質…子に必ず現れる形質（エンドウの丸い種子）
劣性形質…子には現われないで、孫に現われることがある形質（エンドウのしわのある種子）

優性の法則…純系をかけ合せたとき、子には優性の形質しか現われないこと


（４）分離の法則…減数分裂で生殖細胞ができるとき、1組の遺伝子が分かれて、別々の生殖細胞に入ること


（５）遺伝の規則性

子に現われる形質…対立形質のうち、純系AAの遺伝子を持つ親と純系aaの遺伝子を持つ親をかけ合せると、子はすべてAaの遺伝子をもつ
（例）
エンドウの、純系の丸い種子AAと純系のしわのある種子aaをかけ合せると、子の遺伝子はすべてAaになる
丸い種子の遺伝子Aが優性だから、子はすべて丸い種子である








孫に現われる形質…対立形質の純系をかけ合せてできた子どうし（Aa）をかけ合せると、AA：Aa：aa=1：2：1となり、孫の代では、優性形質を現すもの：劣性形質を現すものの比は3：1となる
（例）
エンドウだと、AA、Aaの遺伝子をもつ孫は優性の丸い種子となり、aaの遺伝子を持つ種子だけが劣性のしわのある種子になり、その比は3：1である













（６）DNA（デオキシリボ核酸）…染色体の中にある、遺伝子を伝える本体





（成長と生殖・遺伝の各内容の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。）

math 【超速まとめ】 素数・素因数分解・因数分解・式の計算の利用

素数・素因数分解・因数分解・式の計算の利用の章を一目で理解できるように、重要事項を最も簡単にまとめました。

１、素数・素因数分解

素数…約数が2つだけの数（1と自分自身でしかわれない数）
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,・・・
30までに10個、50までに15個ある（1は、素数ではない）

素因数分解…自然数を、素数の積で表すこと
（例）30を素数で割ると、
2)30
3)15
//5
30=2×3×5・・・素因数分解

2乗になる数を見つける問題…素因数分解をするとわかる
（例）28にできるだけ小さい自然数をかけて、ある数の平方（2乗）になるようにしたい。
2)28
2)14
//7
28=2×2×7
2は2乗になっているので、7をかければよい（2乗になっていない数の7が答え）。


２、因数分解

因数…A=B×Cのとき、BとCをAの因数といい、AをB×Cの形にすることを因数分解という

式の展開と因数分解…式を、（）のない形にするのが式の展開、（）の式にするのが因数分解

因数分解…(1)共通の因数でくくる、(2)乗法公式を利用する、の2つで解く

（１）共通の因数でくくる問題…共通に含まれるものを前に出して、わった残りを（）の中に残す
（例）
ax-bx+cx=x(a-b+c)

・・・できるだけ大きい因数を前に出す


（２）乗法公式を利用する問題…

最後が、2乗の数ではないとき・・・乗法公式1を使う








（例）
・・・かけると20になる数で、たすと-12になるのは-2と-10



・・・かけると-15y^2になる数で、たすと-2yになるのは-5yと3y



最後が、2乗の数であるとき・・・乗法公式2を使う








（例）
・・・1/9が1/3の2乗だから公式2と見当をつけて、真ん中の2/3が1/3の2倍であることを確認する




・・・9x^2が3xの2乗、49が7の2乗だから公式2と見当をつけて、真ん中の42が3×7=21の2倍であることを確認する


項が2つしかない（真ん中の項がない）とき・・・乗法公式3を使う







（例）
・・・2乗-2乗で、真ん中の項がないことから、乗法公式3だと見当をつける



３、因数分解の発展問題

（１）共通の因数でくくった後、公式を使う問題…

（例）
・・・まず、共通の因数を前に出すことを優先
・・・後ろの（）内で乗法公式を使う



・・・まず、共通の因数を前に出すことを優先
・・・後ろの（）内で乗法公式を使う




（２）置き換えを利用する問題…

（例）
・・・2x+1が2か所にあることに注目して、2x+1=Xで置き換えて、因数分解をする

・・・（）だけの式ができたら、X=2x+1に戻す




・・・x-3=Xで置き換えて、因数分解をする

・・・（）だけの式ができたら、X=x-3に戻す






４、式の計算の利用

（１）式の値…先に展開や因数分解をして、その後に代入する

（例）
a=6.8、b=3.2のとき、次の式の値を求めよ

・・・先に因数分解をする

・・・因数分解できたら数値を代入して計算する





（２）計算への利用…きりのよい数を思いうかべて、乗法公式を使う

（例）
・・・79がきりのよい80に近いことから、80-1と書き換える
・・・利用できる乗法公式を使う





（３）式による説明…Aは〜、Bは〜、だから〜と記述する

（例）
半径rの円形の土地のまわりに幅aの道がついている。この道の面積をS、道の真ん中を通る円周の長さをLとすると、S=aLとなることを証明しなさい。
道の面積Sは、円の面積=半径×半径×πを使って







道の真ん中を通る円周の長さLは、円周=直径×πを使って






S=πa(2r+a)、L=π(2r+a)より、S=aL





（素数・素因数分解・因数分解・式の計算の利用の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。）

math 【超速まとめ】 平方根

平方根の章を一目で理解できるように、重要事項を最も簡単にまとめました。

１、平方根の意味

平方根…Aの2乗がBであるとき（例えば、3の2乗が9）、AをBの平方根という（3が9の平方根）

平方根は+と-の2つある…
（例）3の2乗の3×3も9、‐3の2乗の(-3)×(-3)も9だから、9の平方根は3と-3の2つ（±3）

平方根が整数・小数・分数で表せるとき…その数を見つける
（例）4の平方根は±2、0.16の平方根は±0.4、4/9の平方根は±2/3

平方根が整数・小数・分数で表せないとき…その数字を表す方法がないので、√（ルート）という記号を使って表す
（例）2の平方根は±√2、3の平方根は±√3

覚えておくべく平方根…
1の平方根　±1、4の平方根　±2、9の平方根　±3、16の平方根　±4、25の平方根　±5
36の平方根　±6、49の平方根　±7、64の平方根　±8、81の平方根　±9、100の平方根　±10
121の平方根　±11、144の平方根　±12、169の平方根　±13、196の平方根　±14、225の平方根　±15、256の平方根　±16、289の平方根　±17、・・・、441の平方根　±21、・・・、625の平方根　±25、・・・

整数の平方根が整数で表せないとき…記号√（ルート：根号）を使う
2の平方根　±√2、3の平方根　±√3、5の平方根　±√5、6の平方根　±√6、7の平方根　±√7、8の平方根　±√8、10の平方根　±√10、11の平方根　±√11、・・・

平方根とルートの関係
25の平方根は±5であり、25の平方根は±√25=±5であるということもあるが、違いは…
（例）
25の平方根は5と-5（平方根は±の2個ある）
ところが、√25=5（ルートは1個だけ）、-√25=-5（ルートは1個だけ）で、正負は記号√（ルート）の前の正負で決まる

0の平方根は0の1個だけ

負の数に平方根はない（どんな数も、2乗してマイナスになることはないから）


２、平方根の性質

√aの2乗はaである…

（覚え方）ルートは、2乗すると、ルートがとれる




平方根の大小…
を利用して、2乗すると大小を比較できる

（例）√17と5の大小は、√17の2乗は17で、5の2乗は25だから、√17<5
-√17の-5の大小は、負の数のときは、絶対値の大きいほうが小さいから、2乗したときの17<25より、逆になって-√17>-5

（例）2<√x<3にあてはまる整数xの値は…
2乗すると4<x<9より、x=5,6,7,8

ルートの整数部分…4,9,16,25,・・・などの、ある整数の2乗になっている数を利用すると求められる
（例）√7の整数部分…√4<√7<√9より、2<√7<3だから、√7の整数部分は2


３、有理数と無理数

有理数…分数で表わせる数
無理数…分数では表わせない数

整数…分母が1の分数で表せるので、有理数
分数…最初から分数だから有理数
小数…有限小数（0.23など）・循環する無限小数（0.121212…など）・循環しない無限小数（3.141592…など）の3つに分類でき、有限小数・循環する無限小数は分数に表せるので有理数、循環しない無限小数だけが無理数

無理数…循環しない無限小数だけ、円周率のπと√だけが無理数

循環小数…同じ数字がくりかえされる小数

分数を循環小数で表す…分子÷分母を計算する
（例）2/3=2÷3=0.6666…
循環する数字の上に・をつけて表示する


循環小数を分数で表す…1/9,1/99,を利用する
（例）














４、平方根の計算で守らないといけないルール

(1)ルートが整数になおせるときは、整数になおす

（例）√4=2、√9=3、√16=4、…

(2)ルートの中にある数の2乗がふくまれるときは、その数を外に出す

（例）√8=√4×2=2√2、√12=√4×3=2√3、√18=√9×2=3√2、√24=√4×6=2√6、√27=√9×3=3√3、√32=√16×2=4√2、…

(3)分母にルートがあるときは、同じルートを分母と分子にかけて、分子にルートがない形にする（有理化）

（例）







５、ルートの乗法・除法

整数は整数どうし、ルートの中の数字はルートの中の数字どうしで、かけたりわったりする

（例）
2√15×3√2…整数は整数どうし、ルートの中の数字はルートの中の数字どうしで、かける
=6√30

-√6×2√3
=-2√18…ルートの中にある数の2乗があるときは、その数を外に出す
=-2×3√2
=-6√2

√160÷2√5
=4√10÷2√5…整数は整数どうし、ルートの中の数字はルートの中の数字どうしで、わる
=2√2



…分数にして、ルートの中どうしを先に約分する








６、ルートの加法・減法

ルートはそのままで、ルートの前の数字どうしを、たしたり引いたりする
（例）
2√3+5√3
=7√3

√80-2√45…ルートの中にある数の2乗があるときは、その数を外に出してから計算する
=4√5-2×3√5
=4√5-6√5
=-2√5

√3(√15-√12)-(√49-√20)
=√45-√36-√49+√20
=3√5-6-7+2√5
=5√5-13

(√3+2)(√3+4)…乗法公式が使えるときは乗法公式を使う
=3+(2+4)×√3+2×4
=3+6√3+8
=11+6√3


７、平方根の応用問題

ルートの近似値を求める問題…√100=10、√10000=100を利用する

（例）√2=1..414として、ルートを小数で表す問題
√200
=√100×2
=10×√2
=10×1.414
=14.14














ルートが整数となる条件を求める問題…ルートの中に、ある数の2乗ができればよい

（例）√45nが整数となるような、もっとも小さい整数nを求める問題
√45n=3√5nより、最小のnは5…√a×√a=aを利用すればよい


ルートの整数部分、小数部分を求める問題…先に整数部分を求める

（例）√5の整数部分をa、小数部分をbとするとき、√30のaとbを求める問題

√25<√30<√36より、5<√30<6
だから、√30の整数部分は5
a=5

次に、√30の小数部分は、√30全体から整数部分を引いた残りだから、b=√30-5



（平方根の、さらに詳しい説明はこちらの目次からたどってご覧ください。）