つるかめ算は、昔からもっとも有名な特殊算です。
つるかめ算の考え方とは
「鶴（あしは２本）と亀（あしは４本）が合わせて１０匹、あしの数の合計が２８本のとき、それぞれ何匹か。」という問題がつるかめ算の原型です。
合わせていくらかはわかっているが、それぞれがいくらずつになるかはわからないときは、どちらか一方だけで全部だと仮定します。
もし、すべて亀だとすると、１０匹であしの数は４×１０＝４０本。
本当のあしの数との差は４０−２８＝１２本。
１匹の亀を鶴に置き換えていくと、そのたびにあしの数は４−２＝２本ずつ減っていきます。
１２本÷２本＝６が、置き換えた鶴の数なので、鶴は６羽。
亀の数は１０−６＝４匹。
最初に全部と仮定したものではないほう、上の解き方だと鶴のほうの数が、取り替えていったほうですから、先に求められます。
このように、合わせていくらかはわかっているのにそれぞれがいくつずつかはわからないとき、最初にどちらか一方がすべてだと仮定して解いていく問題がつるかめ算です。
１つの式にまとめると、（４×１０−２８）÷（４−２）＝６の式になりますから、文章題で多い、（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）で答えが求められる問題の一つです。
では、速さのからんだ問題から。
例題１：
３ｋｍの道のりを、はじめは毎分５０ｍで歩き、途中から毎分２００ｍで自転車で進んで、あわせて３３分かかりました。歩いた時間は何分ですか。
（解き方）
道のりをすべて歩いたとすると、３３分で進む距離は５０×３３＝１６５０ｍ。
本当の距離との差は、３０００−１６５０＝１３５０ｍ。
１分歩くのをやめて自転車に乗るとすると、１分に２００−５０＝１５０ｍちがってきます。
全部のちがい１３５０ｍを、１分のちがい１５０ｍでわって、１３５０÷１５０＝９分。
これが、歩くかわりに自転車に乗った時間です。
１つの式にすると、自転車に乗った時間は（３０００−５０×３３）÷（２００−５０）＝９分
歩いた時間は３３−９＝２４分。
上の解き方では、最初にすべて歩いたと仮定しましたが、最初に全部と仮定しなかったほうが先に求められることを知っていたら、歩いた時間が聞かれているので、すべて自転車に乗ったと仮定したほうが早道です。
少し意地悪くすると、次の問題になります。
例題２：
A、Bの２人でじゃんけんをしました。同じ地点から出発し、勝つと３歩前に進み、負けると２歩後ろに下がります。２０回じゃんけんをしたところ、AはBより３０歩前にいました。Aは何回勝ちましたか。
（解き方）
まず、Aがすべて勝ったと仮定したとき、Aが先にいる歩数は３歩×２０回＝６０歩分ではありません。
負けたBは、１回負けるごとに２歩後ろに下がっているので、Aが１回勝つことによって先行する歩数は３＋２＝５歩です。だから、すべてAが勝つと仮定すると、Aが先に進んでいる歩数は、（３＋２）×２０＝１００歩です。
ところが、実際には３０歩しか前にいないから、そのちがいは１００−３０＝７０歩。
同様に、１回分AではなくてBが勝ったと取り替えていくと、１回取り替えるたびにちがうのは３−２ではありません。Aは、勝つと３歩前に進めるのに、負けると２歩後ろに下がらないといけません。そのちがいは３−２ではなくて、３＋２＝５、５歩もちがってくるはずです。
さらに気づきにくいのは、２人の距離のちがいです。１回取り替えるたびにちがうのは、３＋２の５歩にとどまりません。
Aが勝ったとき、Aが３歩前に進み、Bは２歩後ろに下がるのでAはBより５歩前に出ます。ところが、Aが負けてBが勝ったら、Bが前に３歩進み、Aは２歩後退し、合わせて５歩Aは後ろにいることになります。
５歩先行するのと、５歩後ろにいるのとの差は、５×２＝１０歩です。
つまり、この問題では、勝つと負けるのとでは、距離は（３＋２）×２＝１０歩もちがってくるのです。
以上より、（（３＋２）×２０−３０）÷（（３＋２）×２）＝７回。
最初にAがすべて勝ったと仮定したので、この７回は、仮定から取り替えていったBの勝った回数です。
Aの勝った回数は、２０回−７回＝１３回。
次は、平均算とからめたよくある問題です。
例題３：
生徒数４０人のクラスで算数のテストをしたところ、表のような結果が出ました。
平均点が７５点のとき、７０点と８０点の人はそれぞれ何人ですか。
（解き方）
平均算ですから、先に平均×人数＝合計を求めておきます。
７５×４０＝３０００点。
判明している部分の合計点は、１００×４＋９０×６＋６０×８＋５０×２＝４００＋５４０＋４８０＋１００＝１５２０点。
また、判明している部分の人数は４＋６＋８＋２＝２０人。
これで、８０点と７０点の人の人数の和は４０−２０＝２０人、得点の合計は３０００−１５２０＝１４８０点だとわかりました。
合わせた人数がわかっているのでつるかめ算です。
２０人全員が８０点だとすると、８０×２０＝１６００点。
本当の合計との差を、８０点と７０点とを取り替えた差の１０点でわればよいから、
（１６００−１４８０）÷（８０−７０）＝１２人（取り替えた７０点の人数）
８０点の人は、２０−１２＝８人。
最後に、つるかめ算にとりかかる前に損益算をしておかないといけない問題です。
例題４：
あるお店で品物を２００個仕入れ、仕入れ値の２０％の利益をふくめて定価を決めました。大部分は定価どおりに売れましたが、一部売れ残ったので、売れ残った商品を定価の２０％引きにして全部売りました。その結果、利益は１７０００円で、これははじめに予定した利益の８５％にあたります。この品物１個の仕入れ値と、定価の２０％引きで売った品物の個数を求めなさい。
（解き方）
「利益は１７０００円で、これははじめに予定した利益の８５％にあたります。」とあるので、１７０００÷０.８５＝２００００円。
これが、最初に予定した利益です。
この利益が仕入れの２０％だから、２００００÷０.２＝１０００００円が仕入れ値の合計。
だから、１個の仕入れ値は１０００００÷２００＝５００円。
ここまでは、損益算、割合の問題です。
予定通りに売ったときの値段は、２０％の利益を見込んでいたので、１個５００×（１＋０.２）＝６００円。
売れ残って定価の２０％引きにしたときの売値は、６００×（１−０.２）＝４８０円。
全部を定価の６００円で売ったと仮定すると、総売り上げの見込みは６００×２００＝１２００００円。
ところが、実際の総売り上げは、１７０００円の利益だったから１０００００＋１７０００＝１１７０００円。
１個、商品を定価どおりではなくて２０％引きで売るごとに、６００−４８０＝１２０円のちがいがでてくる。
全部のちがい、１２００００−１１７０００＝３０００円を、１個取り替えるごとのちがい、１２０円でわって、３０００÷１２０＝２５個。
（１２００００−１１７０００）÷（６００−４８０）＝２５個。
定価の２０％引きで売った品物の個数は２５個。
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つるかめ算の考え方とは
「鶴（あしは２本）と亀（あしは４本）が合わせて１０匹、あしの数の合計が２８本のとき、それぞれ何匹か。」という問題がつるかめ算の原型です。
合わせていくらかはわかっているが、それぞれがいくらずつになるかはわからないときは、どちらか一方だけで全部だと仮定します。
もし、すべて亀だとすると、１０匹であしの数は４×１０＝４０本。
本当のあしの数との差は４０−２８＝１２本。
１匹の亀を鶴に置き換えていくと、そのたびにあしの数は４−２＝２本ずつ減っていきます。
１２本÷２本＝６が、置き換えた鶴の数なので、鶴は６羽。
亀の数は１０−６＝４匹。
最初に全部と仮定したものではないほう、上の解き方だと鶴のほうの数が、取り替えていったほうですから、先に求められます。
このように、合わせていくらかはわかっているのにそれぞれがいくつずつかはわからないとき、最初にどちらか一方がすべてだと仮定して解いていく問題がつるかめ算です。
１つの式にまとめると、（４×１０−２８）÷（４−２）＝６の式になりますから、文章題で多い、（全体のちがい）÷（１つ分のちがい）で答えが求められる問題の一つです。
では、速さのからんだ問題から。
例題１：
３ｋｍの道のりを、はじめは毎分５０ｍで歩き、途中から毎分２００ｍで自転車で進んで、あわせて３３分かかりました。歩いた時間は何分ですか。
（解き方）
道のりをすべて歩いたとすると、３３分で進む距離は５０×３３＝１６５０ｍ。
本当の距離との差は、３０００−１６５０＝１３５０ｍ。
１分歩くのをやめて自転車に乗るとすると、１分に２００−５０＝１５０ｍちがってきます。
全部のちがい１３５０ｍを、１分のちがい１５０ｍでわって、１３５０÷１５０＝９分。
これが、歩くかわりに自転車に乗った時間です。
１つの式にすると、自転車に乗った時間は（３０００−５０×３３）÷（２００−５０）＝９分
歩いた時間は３３−９＝２４分。
上の解き方では、最初にすべて歩いたと仮定しましたが、最初に全部と仮定しなかったほうが先に求められることを知っていたら、歩いた時間が聞かれているので、すべて自転車に乗ったと仮定したほうが早道です。
少し意地悪くすると、次の問題になります。
例題２：
A、Bの２人でじゃんけんをしました。同じ地点から出発し、勝つと３歩前に進み、負けると２歩後ろに下がります。２０回じゃんけんをしたところ、AはBより３０歩前にいました。Aは何回勝ちましたか。
（解き方）
まず、Aがすべて勝ったと仮定したとき、Aが先にいる歩数は３歩×２０回＝６０歩分ではありません。
負けたBは、１回負けるごとに２歩後ろに下がっているので、Aが１回勝つことによって先行する歩数は３＋２＝５歩です。だから、すべてAが勝つと仮定すると、Aが先に進んでいる歩数は、（３＋２）×２０＝１００歩です。
ところが、実際には３０歩しか前にいないから、そのちがいは１００−３０＝７０歩。
同様に、１回分AではなくてBが勝ったと取り替えていくと、１回取り替えるたびにちがうのは３−２ではありません。Aは、勝つと３歩前に進めるのに、負けると２歩後ろに下がらないといけません。そのちがいは３−２ではなくて、３＋２＝５、５歩もちがってくるはずです。
さらに気づきにくいのは、２人の距離のちがいです。１回取り替えるたびにちがうのは、３＋２の５歩にとどまりません。
Aが勝ったとき、Aが３歩前に進み、Bは２歩後ろに下がるのでAはBより５歩前に出ます。ところが、Aが負けてBが勝ったら、Bが前に３歩進み、Aは２歩後退し、合わせて５歩Aは後ろにいることになります。
５歩先行するのと、５歩後ろにいるのとの差は、５×２＝１０歩です。
つまり、この問題では、勝つと負けるのとでは、距離は（３＋２）×２＝１０歩もちがってくるのです。
以上より、（（３＋２）×２０−３０）÷（（３＋２）×２）＝７回。
最初にAがすべて勝ったと仮定したので、この７回は、仮定から取り替えていったBの勝った回数です。
Aの勝った回数は、２０回−７回＝１３回。
次は、平均算とからめたよくある問題です。
例題３：
生徒数４０人のクラスで算数のテストをしたところ、表のような結果が出ました。
平均点が７５点のとき、７０点と８０点の人はそれぞれ何人ですか。（解き方）
平均算ですから、先に平均×人数＝合計を求めておきます。
７５×４０＝３０００点。
判明している部分の合計点は、１００×４＋９０×６＋６０×８＋５０×２＝４００＋５４０＋４８０＋１００＝１５２０点。
また、判明している部分の人数は４＋６＋８＋２＝２０人。
これで、８０点と７０点の人の人数の和は４０−２０＝２０人、得点の合計は３０００−１５２０＝１４８０点だとわかりました。
合わせた人数がわかっているのでつるかめ算です。
２０人全員が８０点だとすると、８０×２０＝１６００点。
本当の合計との差を、８０点と７０点とを取り替えた差の１０点でわればよいから、
（１６００−１４８０）÷（８０−７０）＝１２人（取り替えた７０点の人数）
８０点の人は、２０−１２＝８人。
最後に、つるかめ算にとりかかる前に損益算をしておかないといけない問題です。
例題４：
あるお店で品物を２００個仕入れ、仕入れ値の２０％の利益をふくめて定価を決めました。大部分は定価どおりに売れましたが、一部売れ残ったので、売れ残った商品を定価の２０％引きにして全部売りました。その結果、利益は１７０００円で、これははじめに予定した利益の８５％にあたります。この品物１個の仕入れ値と、定価の２０％引きで売った品物の個数を求めなさい。
（解き方）
「利益は１７０００円で、これははじめに予定した利益の８５％にあたります。」とあるので、１７０００÷０.８５＝２００００円。
これが、最初に予定した利益です。
この利益が仕入れの２０％だから、２００００÷０.２＝１０００００円が仕入れ値の合計。
だから、１個の仕入れ値は１０００００÷２００＝５００円。
ここまでは、損益算、割合の問題です。
予定通りに売ったときの値段は、２０％の利益を見込んでいたので、１個５００×（１＋０.２）＝６００円。
売れ残って定価の２０％引きにしたときの売値は、６００×（１−０.２）＝４８０円。
全部を定価の６００円で売ったと仮定すると、総売り上げの見込みは６００×２００＝１２００００円。
ところが、実際の総売り上げは、１７０００円の利益だったから１０００００＋１７０００＝１１７０００円。
１個、商品を定価どおりではなくて２０％引きで売るごとに、６００−４８０＝１２０円のちがいがでてくる。
全部のちがい、１２００００−１１７０００＝３０００円を、１個取り替えるごとのちがい、１２０円でわって、３０００÷１２０＝２５個。
（１２００００−１１７０００）÷（６００−４８０）＝２５個。
定価の２０％引きで売った品物の個数は２５個。
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